a b を実数とする、xに関する３次方程式
x³ー３ax＋b＝０・・・①
は虚数解を持ち、3個の解は複素数平面上で一直線上にないものとする。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
・aとbのの満たす条件を示し、それをa b 座標平面上に表しなさい。
・①の方程式の実数解をcとするとき、虚数解をaとcおよび虚数iを用いて表しなさい。
（２）複素数平面上で、①の方程式の3解を頂点とする三角形をKとする。
・Kが点1を中心とする半径2の円に内接しているとき、aとbの値を求めよ・Kが点1を中心とする半径rの円に内接しているとき、Kの3つの頂点を表す複素数と半径rをaを用いてそれぞれ表し、aのとりうる範囲を求めよ。
ヒントでもいいので教えてください。全くわかりませんでした。解説をよろしくお願いいたします。
複素数平面と方程式
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harrier48mathtt
Re: 複素数平面と方程式
問題の再確認
3次方程式：$x^3 - 3ax + b = 0 \quad (a, b \text{ は実数}) \cdots ①$
虚数解を持つ
3個の解は複素数平面上で一直線上にない
(1) $a$ と $b$ の満たす条件、実数解 $c$ を用いた虚数解の表現
(2) 3解を頂点とする三角形Kが円に内接する場合
３つの解が一直線上にある場合
3次方程式が３つの解を持つとき、それらが複素数平面上で一直線上にあるのは、以下のいずれかの場合です。
(i) ３つの解が全て実数解の場合：実数解は複素数平面上では実数軸上に位置するため、必ず一直線上にあります。
(ii) 重解と一つの実数解を持つ場合：例えば、解が $\alpha, \alpha, \beta$ （$\alpha$は複素数、$\beta$は実数）の場合。
* $\alpha$が実数であれば上記に含まれます。
* $\alpha$が虚数の場合、$\alpha$とその共役複素数 $\bar{\alpha}$ が解となり、$\beta$と合わせて３つの解は一直線上に並びます。これは、複素数とその共役複素数は実数軸に対して対称な位置にあり、実数 $\beta$ と合わせて一直線となるためです。
* 純虚数解と0を持つ場合：解が $i, -i, 0$ の場合のように、純虚数解とその共役複素数、そして0を持つ場合、これらは虚数軸上に一直線に並びます。これは、上記「重解と一つの実数解を持つ場合」において $\beta=0$ の特別な場合と考えることもできます。
$-i, i, 0$ の場合について
$-i, i, 0$ の場合は、上記の分類の(ii)「純虚数解と0を持つ場合」に該当します。
（１）$a$ と $b$ の満たす条件、虚数解の表現
$f(x) = x^3 - 3ax + b$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 3a$
$a > 0$ のとき、$f'(x) = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{a}$ となり、極値を持つ。
極大値は $f(-\sqrt{a}) = 2a\sqrt{a} + b$
極小値は $f(\sqrt{a}) = -2a\sqrt{a} + b$
3次方程式が虚数解を持つのは、$f(x) = 0$ の実数解が1つのみの場合です。これは、極大値と極小値の符号が同じ、つまり積が正の場合に相当します。
$(2a\sqrt{a} + b)(-2a\sqrt{a} + b) > 0$
$b^2 - 4a^3 > 0$
$b^2 > 4a^3$
$a \le 0$ のとき、$f'(x) = 0$ は実数解を持たず、$f(x)$ は単調増加（または単調減少）となり、必ず1つの実数解と2つの虚数解を持ちます。この場合も $b^2 > 4a^3$ は成り立つ。
したがって、虚数解を持つ条件は $b^2 > 4a^3$ です。$ab$平面上では、放物線 $b^2 = 4a^3$ の上側（境界を含まず）の領域となります。
実数解を $c$ とすると、$x^3 - 3ax + b = (x - c)(x^2 + cx + (c^2 - 3a)) = 0$ と因数分解できます。虚数解は $x^2 + cx + (c^2 - 3a) = 0$ の解で、解の公式より、
\[
\alpha, \beta = \frac{-c \pm i\sqrt{12a - 3c^2}}{2}
\]
となります。
（２）複素数平面上で、①の方程式の3解を頂点とする三角形をKとする。
Kが点1を中心とする半径2の円に内接しているとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。
3解が点1を中心とする半径2の円に内接するということは、解を $z$ とすると $|z - 1| = 2$、つまり $z = 1 + 2e^{i\theta}$ と表せます。ここで、3解を $z_1, z_2, z_3$ とすると、解と係数の関係から $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ です。
$z = x + iy$ とおくと、$|z-1|=2$ は $(x-1)^2 + y^2 = 4$ となります。
3解の和が0ということは、複素数平面上で3解の重心が原点にあることを意味します。一方、円の中心は1です。この二つの条件が同時に成立するのは、3解が正三角形をなす場合に限られます。
このとき、3解は $1 + 2\omega, 1 + 2\omega^2, 3$（ただし $\omega$ は1の虚数立方根）と表せます。
$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ なので、3解は
\[
3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}
\]
となります。
これらの解は、$z_1 + z_2 + z_3 = 3 + (-1 + i\sqrt{3}) + (-1 - i\sqrt{3}) = 1 \ne 0$ となり、解の和が0であるという条件を満たしません。
**結論1：問題文の設定に矛盾があります。**「Kが点1を中心とする半径2の円に内接する」と「解の和が0」という条件は同時に成立しません。
Kが点1を中心とする半径 $r$ の円に内接しているとき、Kの3つの頂点を表す複素数と半径 $r$ を $a$ を用いてそれぞれ表し、$a$ のとりうる範囲を求めよ。
上記と同様の理由で、円の中心が1である限り、一般的に解を $a$ で表すことは困難です。解の和が0であることと、円の中心が原点でないことが同時に成り立つためには、特別な場合（例えば正三角形の場合）に限られます。
**円の中心が原点の場合**
もし問題文が「Kが原点を中心とする」であれば、以下のように解くことができます。
3解が原点を中心とする半径 $r$ の円に内接する場合、解は $re^{i\theta}$ と表せます。3解が正三角形をなす場合、解は $r, r\omega, r\omega^2$ ($\omega$ は1の虚数立方根) となります。このとき、解の和は $r(1 + \omega + \omega^2) = 0$ となり、条件を満たします。
このとき、方程式は $(x - r)(x - r\omega)(x - r\omega^2) = x^3 - r^3 = 0$ となります。これは①と形が異なります。
もし3解が正三角形でなければ、解を $r e^{i\theta_1}, r e^{i\theta_2}, r e^{i\theta_3}$ と表し、解と係数の関係から式を立てて解くことになります。
**結論2：問題文の設定に矛盾がある可能性が高い。**特に円の中心が1である点が、解の和が0であることと両立しません。円の中心が原点であれば、解法が大きく変わる。以上
3次方程式：$x^3 - 3ax + b = 0 \quad (a, b \text{ は実数}) \cdots ①$
虚数解を持つ
3個の解は複素数平面上で一直線上にない
(1) $a$ と $b$ の満たす条件、実数解 $c$ を用いた虚数解の表現
(2) 3解を頂点とする三角形Kが円に内接する場合
３つの解が一直線上にある場合
3次方程式が３つの解を持つとき、それらが複素数平面上で一直線上にあるのは、以下のいずれかの場合です。
(i) ３つの解が全て実数解の場合：実数解は複素数平面上では実数軸上に位置するため、必ず一直線上にあります。
(ii) 重解と一つの実数解を持つ場合：例えば、解が $\alpha, \alpha, \beta$ （$\alpha$は複素数、$\beta$は実数）の場合。
* $\alpha$が実数であれば上記に含まれます。
* $\alpha$が虚数の場合、$\alpha$とその共役複素数 $\bar{\alpha}$ が解となり、$\beta$と合わせて３つの解は一直線上に並びます。これは、複素数とその共役複素数は実数軸に対して対称な位置にあり、実数 $\beta$ と合わせて一直線となるためです。
* 純虚数解と0を持つ場合：解が $i, -i, 0$ の場合のように、純虚数解とその共役複素数、そして0を持つ場合、これらは虚数軸上に一直線に並びます。これは、上記「重解と一つの実数解を持つ場合」において $\beta=0$ の特別な場合と考えることもできます。
$-i, i, 0$ の場合について
$-i, i, 0$ の場合は、上記の分類の(ii)「純虚数解と0を持つ場合」に該当します。
（１）$a$ と $b$ の満たす条件、虚数解の表現
$f(x) = x^3 - 3ax + b$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 3a$
$a > 0$ のとき、$f'(x) = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{a}$ となり、極値を持つ。
極大値は $f(-\sqrt{a}) = 2a\sqrt{a} + b$
極小値は $f(\sqrt{a}) = -2a\sqrt{a} + b$
3次方程式が虚数解を持つのは、$f(x) = 0$ の実数解が1つのみの場合です。これは、極大値と極小値の符号が同じ、つまり積が正の場合に相当します。
$(2a\sqrt{a} + b)(-2a\sqrt{a} + b) > 0$
$b^2 - 4a^3 > 0$
$b^2 > 4a^3$
$a \le 0$ のとき、$f'(x) = 0$ は実数解を持たず、$f(x)$ は単調増加（または単調減少）となり、必ず1つの実数解と2つの虚数解を持ちます。この場合も $b^2 > 4a^3$ は成り立つ。
したがって、虚数解を持つ条件は $b^2 > 4a^3$ です。$ab$平面上では、放物線 $b^2 = 4a^3$ の上側（境界を含まず）の領域となります。
実数解を $c$ とすると、$x^3 - 3ax + b = (x - c)(x^2 + cx + (c^2 - 3a)) = 0$ と因数分解できます。虚数解は $x^2 + cx + (c^2 - 3a) = 0$ の解で、解の公式より、
\[
\alpha, \beta = \frac{-c \pm i\sqrt{12a - 3c^2}}{2}
\]
となります。
（２）複素数平面上で、①の方程式の3解を頂点とする三角形をKとする。
Kが点1を中心とする半径2の円に内接しているとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。
3解が点1を中心とする半径2の円に内接するということは、解を $z$ とすると $|z - 1| = 2$、つまり $z = 1 + 2e^{i\theta}$ と表せます。ここで、3解を $z_1, z_2, z_3$ とすると、解と係数の関係から $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ です。
$z = x + iy$ とおくと、$|z-1|=2$ は $(x-1)^2 + y^2 = 4$ となります。
3解の和が0ということは、複素数平面上で3解の重心が原点にあることを意味します。一方、円の中心は1です。この二つの条件が同時に成立するのは、3解が正三角形をなす場合に限られます。
このとき、3解は $1 + 2\omega, 1 + 2\omega^2, 3$（ただし $\omega$ は1の虚数立方根）と表せます。
$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ なので、3解は
\[
3, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}
\]
となります。
これらの解は、$z_1 + z_2 + z_3 = 3 + (-1 + i\sqrt{3}) + (-1 - i\sqrt{3}) = 1 \ne 0$ となり、解の和が0であるという条件を満たしません。
**結論1：問題文の設定に矛盾があります。**「Kが点1を中心とする半径2の円に内接する」と「解の和が0」という条件は同時に成立しません。
Kが点1を中心とする半径 $r$ の円に内接しているとき、Kの3つの頂点を表す複素数と半径 $r$ を $a$ を用いてそれぞれ表し、$a$ のとりうる範囲を求めよ。
上記と同様の理由で、円の中心が1である限り、一般的に解を $a$ で表すことは困難です。解の和が0であることと、円の中心が原点でないことが同時に成り立つためには、特別な場合（例えば正三角形の場合）に限られます。
**円の中心が原点の場合**
もし問題文が「Kが原点を中心とする」であれば、以下のように解くことができます。
3解が原点を中心とする半径 $r$ の円に内接する場合、解は $re^{i\theta}$ と表せます。3解が正三角形をなす場合、解は $r, r\omega, r\omega^2$ ($\omega$ は1の虚数立方根) となります。このとき、解の和は $r(1 + \omega + \omega^2) = 0$ となり、条件を満たします。
このとき、方程式は $(x - r)(x - r\omega)(x - r\omega^2) = x^3 - r^3 = 0$ となります。これは①と形が異なります。
もし3解が正三角形でなければ、解を $r e^{i\theta_1}, r e^{i\theta_2}, r e^{i\theta_3}$ と表し、解と係数の関係から式を立てて解くことになります。
**結論2：問題文の設定に矛盾がある可能性が高い。**特に円の中心が1である点が、解の和が0であることと両立しません。円の中心が原点であれば、解法が大きく変わる。以上