階差数列の一般項の公式はどうしたら覚えられますか

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階差数列の一般項の公式はどうしたら覚えられますか

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覚えるのは次の４つ


①Σ[k=１,n-１]c=c(n-１) (ｃは定数)
②Σ[k=１,n-１]k=n(n-１)/2
③Σ[k=１,n-１]k^2=n(n-1)(2n-1)/6

④Σ[k=１,n-１]r^kは (これがちょっとややこしいですが)
a∔ar∔ar^2∔……………＋ar^(n-1)=a(r^n -1)/(r-1)……………(*)
aは初項、rは公比、nは項数。を使う

Σ[k=1,n-1]r^k , Σ[k=1,n-1]r^(k-1)を
Σを使わずに具体的に書き並べます。

・Σ[k=1,n-1]r^k=r∔r^2∔……………∔r^(n-1)
これは初項がr、公比がr、項数が(n-1)で(*)より
r(r^(n-1) -1)/(r-1)

・Σ[k=1,n-1]r^(k-1)=1∔r∔r^2∔……………∔r^(n-2)
これは初項が1、公比がr、項数が(n-1)で(*)より
(r^(n-1) -1)/(r-1)



例えば
Σ[k=１,n-１](12k^2＋6k＋7＋4・3^(k-1))
=2n(n-1)(2n-1)＋3n(n-1)＋7(n-1)∔4{3^(n-1) -1}/(3-1)
これを整理する

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覚えるのは次の４つ


①Σ[k=１,n-１]c=c(n-１) (ｃは定数)
②Σ[k=１,n-１]k=n(n-１)/2
③Σ[k=１,n-１]$k^2$=n(n-1)(2n-1)/6

④Σ[k=１,n-１]$r^k$は (これがちょっとややこしいですが)
a∔ar∔ar^2∔……………＋ar^(n-1)=a(r^n -1)/(r-1)……………(*)
aは初項、rは公比、nは項数。を使う

階差数列も「数列」なので
階差数列が等差数列なら等差数列として扱いますし、
階差数列が等比数列なら等比数列として扱います。
階差数列の和を求める必要がある場合は
それぞれ「等差」か「等比」かによって
扱う公式は異なりますね。
一番多いパターンは
数列{an}の階差数列が{bn}のときに{bn}の一般項が
等差数列や等比数列となるとき
{an}の一般項を求める場合だと思います。
このとき
an=a1+Σ(k=1～n-1)bk
となりますが
あとは
bnが等差数列なら等差数列のn-1項までの和
bnが等比数列なら等比数列のn-1項までの和
の公式を利用することになりますね。

【補足】
基本的な問題の場合は
階差数列{bn}は等差数列か等比数列で
ある場合が多いかと思いますが、
等差・等比数列以外の場合もあります。
色々経験していくと分かっていくことと思います。