約数の総和について聞きたいことがあります

[ゲスト]

200の約数の個数とその総和を求め、約数の中で偶数は何個あるか求める(約数はすべて正とする)っていう問題なんですけど、なんで3と2に＋1してるのでしょうか？

[ゲスト]

2³x5²

2に関して2⁰,2¹,2²,2³の４通り
5に関して5⁰,5¹,5²の３通り
ということですね

200=2³5²
なので、200の正の約数の総和Sは
S=(1+2+2²+2³)(1+5+5²)
=15×31
=465
です。

[ゲスト]

ありがとうございました。

いまいち約数の総和でかけているのが理解できません。教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

例として、「18」について考えます。

素因数分解したら
2×3二乗
ですね。

18の約数について考えるとき、少し変わった考え方をしてみます。

素因数分解した結果、2と3が含まれることがわかりました。
そこで、「2」と書かれたボールを箱に入れて用意します。
一方、「3」と書かれたボールを二つ、別の箱を用意して入れておきます。
「3」ボールが二個なのは、素因数分解の結果3が二つ（二乗）含まれていたからです。
最後に、「1」と書かれたお盆（トレー）を用意します。

準備ができた上で、こんなことをしてみましょう。

「2」の箱からボールを取り出します。
「3」の箱からボールを一つ取り出します。
ボールを「1」のお盆の上に置いて
「1」と、「2」が一つ、「3」が一つ、これを掛け合わせた【6】は、18の約数の一つですね。

このようにして、箱からボールを取り出し、お盆に置いて、書かれた数を掛け算することで18の約数が次々と出来上がります。

ところで、「こちらの箱からはボールを取り出さない」という選択も許すことにします。
「2」の箱からも「3」の箱からもボールを取り出さない場合、「1」のお盆の上には何もなく、お盆そのもの【1】だけとなります。
【1】も18の約数ですから、うまくできた仕組みですね。

話を整理します。
「2」の箱にはボールが一つ。
「3」の箱にはボールが二つ。
それぞれの箱について「取り出さない」という選択肢を与えれば、
「2」の箱に対してできる操作は2通りあります。
（取り出すか、取り出さないか）
「3」の箱に対してできる操作は3通りあります。
（一つ取り出すか、二つ取り出すか、取り出さないか）
この【2通り】×【3通り】の組み合わせ数の分だけ、約数が出来上がると考えることにします。

だから「2×3」は、素因数2と3を掛け算しているわけではないのです。

約数の総和を求める式は、それをジッと眺めていても理解は難しいです。
展開しちゃうと気付くことがあります。

18を例に、約数の総和を考えます。

（1+2）×（1+3+3二乗）
=1
+3
+3二乗
+2
+2×3
+2×3二乗

わかりやすくするために改行しながら展開してみました。
各行（項）が、18の約数になっていることに気付けばしめたものです。

約数の総和は「こうやるとうまくいく」式と捉えてしまったほうがいいと思います。

[ゲスト]

本当に助かりました。とても詳しく教えていただいたので感動しました。ありがとうございます。また機会があればよろしくお願いします