ルート

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nを自然数とする。
2ルートn＜ルートX＜3ルートn を満たす自然数Xの個数をnを用いて表せ という問題で （５n－1）個が正解ですが 詳しい解説と この－1の意味を具体的に教えてください ※ルート記号が出せなくてすみません

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2√n＜√x＜3√n
それぞれ二乗して、
4ｎ＜ｘ＜9ｎ

9n-4n＝5ｎだが、この式だけでは
9n以下ー４ｎ以下の整数の数 となってしまい、
9ｎそのものを含んでしまう。

しかし聞かれているのはx＜9nなので、9ｎ未満の数である。
よって１つ減らす必要がある。
なので5ｎー１

[ゲスト]

問題文は以下のような式ですね。
\begin{equation}
2\sqrt{n}<\sqrt{x}<3\sqrt{n}
\end{equation}
まずは分かりやすいように、n=1の時を考えてみましょう。
n=1のとき式は次のようになります。
\begin{equation}
2<\sqrt{x}<3
\end{equation}
これを図で書くと添付001のようになります。
ですので、このときのxの値は5,6,7,8の4個となります。

次にn=2の時を考えてみましょう。
n=2のとき式は次のようになります。
\begin{equation}
2\sqrt{2}<\sqrt{x}<3\sqrt{2}
\end{equation}
これを図にすると添付002のようになります。
ですので、このときのxの値は9,10,…,17の9個となります。

ここで、n=1とn=2のときで個数はどうやって数えましたか？
地道に1つずつ数えても出てきますが、ここではルートの中の数字を使って出してみましょう。

n=1のとき、ルートの中のxとしては9未満かつ4よりも大きいので9から4を引いてマイナス1した数が個数になっています。
\begin{equation}
9-4-1=4個
\end{equation}

n=2の時も同じように考えると次の式になります。
\begin{equation}
18-8-1=9個
\end{equation}

個数を出したいなら単純に引くだけではなく、マイナス1しないと個数が出てこないことがわかったと思います。

ではnの場合を考えましょう。
\begin{equation}
2\sqrt{n}<\sqrt{x}<3\sqrt{n}
\end{equation}
これを図にすると添付003のようになります。
n=1,2のときと同じように考えると、個数は以下のようになりますね。
\begin{equation}
9n-4n-1=5n-1個
\end{equation}

このように個数を求めるときはマイナス1するのがポイントです。