数Aの場合の数の問題です。

[ゲスト]

数Aの場合の数の問題です。

(2)和が30になる3つの自然数からなる順列の総数を求めよ。答えは406通りです

(3)和が30になる3つの自然数からなる組み合わせの総数を求めよ。
という問題の模範解答は画像の通りなんですが、(2)は分かるんですけど、(3)のこの画像の［3］の所で出た366通りは、xyzを区別して出してらしいですけど
なぜ(2)-［1］-［2］×3で出る通りはxyzを区別したものになるのですか。

[ゲスト]

(2)の和が30になる3つの自然数からなる順列の総数というのは、x,y,zを
自然数として、x+y+z=30 を満たす(x,y,z) の組の総数と同じです。
(1,2,27) と（2,1,27） は区別されています。通常 X=x-1, Y=y-1, Z=z-1
と置くと、X,Y,Zは０以上の整数となるので、x,y,zを元の式に入れて、
X+Y+Z=27 を満たせばよく、X,Y,Zの３つの文字から重複を許して27個
取る重複組合せになり、3H27 =29C27 =29C2 =406通りとなりますね。
重複組合せでは、x,y,z は区別されていることに注意してください。
（取って並べる際の順列は区別されません。XXXYY…と XYXYX… は
同じ組み合わせです。）
で、(3)はx,y,z の区別をなくすと何通りかになるかという問題です。
で、406通りというのはｘ,ｙ,z を区別している場合の話なので、
(a,b,c) のパターンだと、３個の順列の６通りを別々に数えています。
(a,a,b) のパターンだと、ｂの場所で３通り作れるので３通りを別々に
数えています。(a,a,a) のパターンは１通りしか数えられていないです。
(2) -[1] - [2]*3 で出てくる場合の数は、x,y,z を区別して数えた406通り
の中で、x,y,z の３つが異なる場合の数です。なので、６重に数えられて
いるので６で割り、406通りのうち、(a,a,b) のパターンは3重に数えて
れいるので3で割り、(a,a,a) の場合は、どちらも1通りとして数えている
ので1通りとなり、これらを全部足すことで、ｘ,y,z を区別しないときの
場合の数が計算できるという訳です。
こんな説明で納得できるでしょうか？