数列の式変形について

[ゲスト]

数Bの数列について質問です。
写真のk{n-(k-1)}はどうやって求めたのでしょうか？
問題は (ii) 1•n+2•(n-1)+3(n-2)+‥..+n•1です。

[ゲスト]

1 * n + 2 * (n - 1) + 3 * (n - 2) + ・・・ + n * 1
この各項を掛け算の左と右に分割すると、
掛け算の左 = 1, 2, 3, ・・・ n
掛け算の右 = n, n - 1, n - 2, ・・・ 1
となっている。

掛け算の左だけに着目すると、
第1項 = 1
第2項 = 2
第3項 = 3
：
第n項 = n
となっているので、第k項は？と聞かれたら、「k」が答え。

次に掛け算の右だけに着目する。
第1項 = n
第2項 = n - 1
第3項 = n - 2
：
第n項 = 1
ここから第k項がどうなるかを考える。

仮に第k項 = n - kとした場合。
第1項 = n - 1
第2項 = n - 2
第3項 = n - 3
：
となってしまい、本来から-1多くなってしまう。
-1多いなら、第k項 = n - kに+1してしまえばいい。
ということで、第k項 = n - k + 1で考えてみると、
第1項 = n - 1 + 1 = n
第2項 = n - 2 + 1 = n - 1
第3項 = n - 3 + 1 = n - 2
：
と本来の姿に合う。
なので、掛け算の右は第k項 = n - k + 1になる。

掛け算の左が第k項 = k
掛け算の左が第k項 = n - k + 1
だから、元々の数列の第k項は、
k * (n - k + 1)
になりますね