3次関数の微分の演習

[hijiri]

以下の問題が分かりません。接線の本数と方程式の関係がいまいちつかめていません。公式で領域が決まっているようですが、そのあたりの証明もあると嬉しいです。よろしくお願いいたします。背理法を使う方法もあったり、、それも知っていれば教えてください。

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(1)
直線$l \colon y=mx+n$が異なる2点$(a,f(a)),(b,f(b))$で $y=f(x)$と接するとき
$f(x)-(mx+n)=(x-a)^2 (x-b)^2 $と因数分解できる。しかし、
左辺は3次式、右辺は4次式で矛盾する。よってこのような直線$l$は存在しない。

(2)
接点を$(t,t^3-t)$とおく。
$y=x^3-x$より、$y^{\prime}=3x^2-1$なので接線の方程式は
$y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3$

これが点(a,b)を通ると見ればよいので、
$b=(3t^2-1)a-2t^3…①$

さて、3次関数のグラフでは、接線の本数と接点の個数は一致するので、
接線が3本引けるとき、接点も3個存在します。接点の座標も3個。
つまり、$t$が3個（異なる）存在すればよい。

①を$t$の方程式として読みかえてやりましょう。
$2t^3-3at^2+a+b=0…②$
これが、異なる3つの実数解$t$をもつ条件を考えます。

$g(t)=2t^3-3at^2+a+b$とおくと、
$②⇔g(t)=0$より、$y=g(t)$のグラフと$y=0(即ちt軸)$が異なる$3$点で交わるとき、
②は異なる$3$つの実数解tをもちます。

$g^{\prime}(t)=6t^2-6at=6t(t-a)$。よって、$g^{\prime}(t)=0⇔t=0,a$
$a \neq 0$のとき、$g(t)$は極大極小をもつので、$g(0)g(a)＜0…③$であればよい。
$(a+b)(-a^3+a+b)＜0$

従って、
$（a+b＜0、かつ、-a^3+a+b＞0）⇔（b＜-a、かつ、b＞a^3-a）…④$
$（a+b＞0、かつ、-a^3+a+b＜0）⇔（b＞-a、かつ、b＜a^3-a）…⑤$
これらを満たす領域を図示すると、次のようになる。

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図です

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$f(x)=x^3-x$です