数学言語

(1)
球の中心はAH上になりますので
V1=(1/3)r･△BCD
です．

△BCD=(1/2)･4²･sin60°=4√3
なので

V1=4√3/3 r…(答え)

(2)
半直線DHとBCとの交点をM
△ABCの重心をGとしますと
AGとBCの交点は点Mになります．

以下平面AMH上で考えます．
△AGO∽△AHM
なので

GO:HM=AG:AH
です．
HM=1/3 DM=2√3/3
AG=2/3 AM=4√3/3

AH=√(AB²-BH²)
=√{4²-(4√3/3)}²
(BHは△BCDの外接円の半径より正弦定理から求まる)
=4√6/3

なので

r:2√3/3=4√3/3:4√6/3
=√3:√6
=1:√2

よって

√2 r=2√3/3

⇔r=√6/3…(答え)

となります．

ご確認をお願いします。

[数学Ⅰ・空間図形の計量]
1辺の長さが4の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ下ろした垂線をAH,
四面体に内接する球の中心をOとする。

⑴球の半径をrとするとき、四面体OBCDの体積V1
をrを用いて表してください。

⑵rを求めてください。

できれば解説も付けていただけると幸いです。