[数学Ⅰ・空間図形の計量]
1辺の長さが4の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ下ろした垂線をAH,
四面体に内接する球の中心をOとする。
⑴球の半径をrとするとき、四面体OBCDの体積V1
をrを用いて表してください。
⑵rを求めてください。
できれば解説も付けていただけると幸いです。
数学Ⅰ・空間図形の計量の問題です
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Re: 数学Ⅰ・空間図形の計量の問題です
(1)
球の中心はAH上になりますので
V1=(1/3)r･△BCD
です．
△BCD=(1/2)･4²･sin60°=4√3
なので
V1=4√3/3 r…(答え)
(2)
半直線DHとBCとの交点をM
△ABCの重心をGとしますと
AGとBCの交点は点Mになります．
以下平面AMH上で考えます．
△AGO∽△AHM
なので
GO:HM=AG:AH
です．
HM=1/3 DM=2√3/3
AG=2/3 AM=4√3/3
AH=√(AB²-BH²)
=√{4²-(4√3/3)}²
(BHは△BCDの外接円の半径より正弦定理から求まる)
=4√6/3
なので
r:2√3/3=4√3/3:4√6/3
=√3:√6
=1:√2
よって
√2 r=2√3/3
⇔r=√6/3…(答え)
となります．
ご確認をお願いします。
球の中心はAH上になりますので
V1=(1/3)r･△BCD
です．
△BCD=(1/2)･4²･sin60°=4√3
なので
V1=4√3/3 r…(答え)
(2)
半直線DHとBCとの交点をM
△ABCの重心をGとしますと
AGとBCの交点は点Mになります．
以下平面AMH上で考えます．
△AGO∽△AHM
なので
GO:HM=AG:AH
です．
HM=1/3 DM=2√3/3
AG=2/3 AM=4√3/3
AH=√(AB²-BH²)
=√{4²-(4√3/3)}²
(BHは△BCDの外接円の半径より正弦定理から求まる)
=4√6/3
なので
r:2√3/3=4√3/3:4√6/3
=√3:√6
=1:√2
よって
√2 r=2√3/3
⇔r=√6/3…(答え)
となります．
ご確認をお願いします。