図形の応用問題がよくわかりません

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Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 09:51:53

よくわかりました。
何度も返信してくださり、ありがとうございました。
また機会があればよろしくお願いします。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 09:42:26

補足による出題に対応した解法を示します。


∠BADの二等分線と円周との交点のうちA以外のものをFとします。
また直線ADと円周との交点のうちA以外のものをGとします。
AO=BOより△AOGが二等辺三角形となりますので、
DO=DG・・・(あ)

直線OGと円周との交点のうちF以外のHとします。
直線OEと円周との交点のうちE以外のIとします。

端折りますが、
弧BF=弧FG=弧GC=弧AH・・(い)
となります。また
AB//FH//OD//GI
となります。
△OFH≡△OGI≡△OAG
となることから
EG、OD、FHは同距離となります。よって
ED=DG・・・(う)

(あ)(う)より
△EODは二等辺三角形になります


直角三角形の一つの鋭角・・この場合はA・・の三等分線が
直角を挟む一辺の中点・・この場合はD・・と交わるのは
この一意に定まります。
それ以外の場合、①の(い)が成立しないので、
△EODは二等辺三角形に成り得ません。


先のcos∠BDEにおいて実数解が存在しましたので、
αとなる値は存在しえたといえます。

初等幾何による解法を目指しましたので、αの近似値は
高校数学以上となりますがgauss683さんの回答に譲ります。

図を添付します。αのところを●としましたが、
肝となるところは赤印としました。

長くなりましたが、ご確認をお願いします。
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Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 09:24:25

ありがとうございます。長さですね。

>ℓ≒0.6248105
>の値を得ます。
>この場合にのみ△ODEは二等辺三角形となります。

この表現では、ED=ODであることを証明していませんが。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 09:15:52

長さです。通常の数学ではこのように表現していますね。
問題文に図についてどこにも長さは指定していないので、回答者は
基準となる線を定めることに問題はありません。
もしくはℓを実数とし
DE=ℓBD
と比で現わしても同様な回答へ繋げれます。

今一度気が付いてほしかったのは、
BD=1、DE=ℓ
としていますが、これは三角関数を手引きしていて
直角三角形BDEについてℓはcos∠BDEを表しています。

なぜその様にしなかった理由は、この問題は中学生でも解答しうる
方法を示したかったからです。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 09:05:40

ありがとうございます。
最初のご回答で、

>BD=1としDE=ℓとするなら
とあります。

1やℓは、辺の長さのことですか?それとも辺の比のことですか?

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 08:53:03

>DEは仮にℓとして、ℓの値を決定づける方程式を問題から見出しています。

>BD=1としDE=ℓとする

BD=1としているのですから、ℓも長さではなく比ですよね?
一つの三角形で「比を」BD=1、DE=ℓとしたら、対応する1対(2個の)の三角形同士での方程式でしか使えません。
別の1対(2個の)の三角形同士では、その「比は」違っています。
ここがポイントです。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 08:52:47

説明不足で申し訳ございません

BDを固定した値1として、それに対して比率としてDEがどんな値になるか?を考えたものです。
DEは仮にℓとして、ℓの値を決定づける方程式を問題から見出しています。

少し数学的な言い回しが不正確である部分があるかもですが、そこを補足して考えて頂ければ幸いです。

よろしくお願いいたします。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 08:45:03

ご回答ありがとうございます。

いくつか質問させてください。

>△DEB∽△BEA∽△DBA・・(あ)
>が判ります。
その通りですね。

>BD=1としDE=ℓとするなら(あ)の比例式より
>AB=2ℓ、BE=2ℓ²、AE=4ℓ³
>となります。
ここは変です。
「BD=1としDE=ℓ」とするのは、あくまで「比」なのですから、
比の値がその長さになるわけではありません。
例えば、DE=10としたならば、AE=4000となってしまいます。
明らかにおかしいです。

以上です。ご確認をお願いします。

Re: 図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 08:27:48

∠BAD=2∠DACが常に成り立つとは限らないことはさておき・・

条件から
△DEB∽△BEA∽△DBA・・(あ)
が判ります。
BD=1としDE=ℓとするなら(あ)の比例式より
AB=2ℓ、BE=2ℓ²、AE=4ℓ³
となります。
△BEAに注目し三平方の定理より
AB²=AE²+BE²についてℓに置き換え整理すると
4ℓ⁴+ℓ²ー1=0・・・・(い)
を得ます。
ℓ²=Xとして(い)を解くと
X={√(17)ー1}/8
を得ます。

電卓で申し訳ありませんが、
ℓ≒0.6248105
の値を得ます。
この場合にのみ△ODEは二等辺三角形となります。

AO=√(X+1)、AD=√(4X+1)、OD=√X
を得ることができ、cos∠DAOを計算することができますね。

CADで製図して角度測定すると
∠DAO≒19.334141°
を近似値として得ます。

図形の応用問題がよくわかりません

by ゲスト » 2025/4/01(火) 08:18:43

図形の問題です。まったくわかりません。教えてください。

補足
∠BAD=2α、∠DAC=αは、この問題の前提条件です。
この条件下で、
①△EODが常に二等辺三角形なのか?
②△EODが特定のαの値で二等辺三角形になるのか?
③△EODが二等辺三角形になるようなαの値は存在しないのか?
を問う問題です。
②の場合は、αの値の近似値を示すことが求められています。
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