図形の応用問題がよくわかりません

[ゲスト]

図形の問題です。まったくわかりません。教えてください。

補足
∠BAD=２α、∠DAC=αは、この問題の前提条件です。
この条件下で、
①△EODが常に二等辺三角形なのか？
②△EODが特定のαの値で二等辺三角形になるのか？
③△EODが二等辺三角形になるようなαの値は存在しないのか？
を問う問題です。
②の場合は、αの値の近似値を示すことが求められています。

[ゲスト]

∠ＢＡＤ＝２∠ＤＡＣが常に成り立つとは限らないことはさておき・・

条件から
△ＤＥＢ∽△ＢＥＡ∽△ＤＢＡ・・（あ）
が判ります。
ＢＤ＝１としＤＥ＝ℓとするなら（あ）の比例式より
ＡＢ＝２ℓ、ＢＥ＝２ℓ²、ＡＥ＝４ℓ³
となります。
△ＢＥＡに注目し三平方の定理より
ＡＢ²＝ＡＥ²＋ＢＥ²についてℓに置き換え整理すると
４ℓ⁴＋ℓ²ー１＝０・・・・（い）
を得ます。
ℓ²＝Ｘとして（い）を解くと
Ｘ＝{√(１７)ー１}／８
を得ます。

電卓で申し訳ありませんが、
ℓ≒０．６２４８１０５
の値を得ます。
この場合にのみ△ＯＤＥは二等辺三角形となります。

ＡＯ＝√(Ｘ+１)、ＡＤ＝√(４Ｘ＋１）、ＯＤ＝√Ｘ
を得ることができ、cos∠ＤＡＯを計算することができますね。

CADで製図して角度測定すると
∠ＤＡＯ≒１９．３３４１４１°
を近似値として得ます。

[ゲスト]

ご回答ありがとうございます。

いくつか質問させてください。

＞△ＤＥＢ∽△ＢＥＡ∽△ＤＢＡ・・（あ）
＞が判ります。
その通りですね。

＞ＢＤ＝１としＤＥ＝ℓとするなら（あ）の比例式より
＞ＡＢ＝２ℓ、ＢＥ＝２ℓ²、ＡＥ＝４ℓ³
＞となります。
ここは変です。
「ＢＤ＝１としＤＥ＝ℓ」とするのは、あくまで「比」なのですから、
比の値がその長さになるわけではありません。
例えば、ＤＥ＝１０としたならば、ＡＥ＝4000となってしまいます。
明らかにおかしいです。

以上です。ご確認をお願いします。

[ゲスト]

説明不足で申し訳ございません

ＢＤを固定した値１として、それに対して比率としてＤＥがどんな値になるか？を考えたものです。
ＤＥは仮にℓとして、ℓの値を決定づける方程式を問題から見出しています。

少し数学的な言い回しが不正確である部分があるかもですが、そこを補足して考えて頂ければ幸いです。

よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

＞ＤＥは仮にℓとして、ℓの値を決定づける方程式を問題から見出しています。

＞ＢＤ＝１としＤＥ＝ℓとする

ＢＤ＝１としているのですから、ℓも長さではなく比ですよね？
一つの三角形で「比を」ＢＤ＝１、ＤＥ＝ℓとしたら、対応する１対（２個の）の三角形同士での方程式でしか使えません。
別の１対（２個の）の三角形同士では、その「比は」違っています。
ここがポイントです。

[ゲスト]

ありがとうございます。
最初のご回答で、

＞ＢＤ＝１としＤＥ＝ℓとするなら
とあります。

１やℓは、辺の長さのことですか？それとも辺の比のことですか？

[ゲスト]

長さです。通常の数学ではこのように表現していますね。
問題文に図についてどこにも長さは指定していないので、回答者は
基準となる線を定めることに問題はありません。
もしくはℓを実数とし
ＤＥ＝ℓＢＤ
と比で現わしても同様な回答へ繋げれます。

今一度気が付いてほしかったのは、
ＢＤ＝１、ＤＥ＝ℓ
としていますが、これは三角関数を手引きしていて
直角三角形ＢＤＥについてℓはcos∠ＢＤＥを表しています。

なぜその様にしなかった理由は、この問題は中学生でも解答しうる
方法を示したかったからです。

[ゲスト]

ありがとうございます。長さですね。

＞ℓ≒０．６２４８１０５
＞の値を得ます。
＞この場合にのみ△ＯＤＥは二等辺三角形となります。

この表現では、ED=ODであることを証明していませんが。

[ゲスト]

補足による出題に対応した解法を示します。

①
∠ＢＡＤの二等分線と円周との交点のうちＡ以外のものをＦとします。
また直線ＡＤと円周との交点のうちＡ以外のものをＧとします。
ＡＯ＝ＢＯより△ＡＯＧが二等辺三角形となりますので、
ＤＯ＝ＤＧ・・・（あ）

直線ＯＧと円周との交点のうちＦ以外のＨとします。
直線ＯＥと円周との交点のうちＥ以外のＩとします。

端折りますが、
弧ＢＦ＝弧ＦＧ＝弧ＧＣ＝弧ＡＨ・・（い）
となります。また
ＡＢ//ＦＨ//ＯＤ//ＧＩ
となります。
△ＯＦＨ≡△ＯＧＩ≡△ＯＡＧ
となることから
ＥＧ、ＯＤ、ＦＨは同距離となります。よって
ＥＤ＝ＤＧ・・・（う）

（あ）（う）より
△ＥＯＤは二等辺三角形になります

②
直角三角形の一つの鋭角・・この場合はＡ・・の三等分線が
直角を挟む一辺の中点・・この場合はＤ・・と交わるのは
この一意に定まります。
それ以外の場合、①の（い）が成立しないので、
△ＥＯＤは二等辺三角形に成り得ません。

③
先のcos∠ＢＤＥにおいて実数解が存在しましたので、
αとなる値は存在しえたといえます。

初等幾何による解法を目指しましたので、αの近似値は
高校数学以上となりますがgauss683さんの回答に譲ります。

図を添付します。αのところを●としましたが、
肝となるところは赤印としました。

長くなりましたが、ご確認をお願いします。

[ゲスト]

よくわかりました。
何度も返信してくださり、ありがとうございました。
また機会があればよろしくお願いします。