空間ベクトルの問題です。どなたか解答を作成していただけると助かります。
空間内に2つの直線
l1:(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,1,-1)
l2:(x,y,z)=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)
がある。ただしs,tは媒介変数とする。
(1)l2上の点A(-1,1,-2)からl1へおろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(2)l1,l2上にそれぞれ点P,Qをとるとき、線分PQの長さの最小値を求めよ。
そもそも媒介変数やベクトル方程式などが理解できていないと思いますので、そのあたりも説明していただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。
空間ベクトルについて
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ゲスト
Re: 空間ベクトルについて
図があればわかりやすいですが式だけでもできますね
（１）
l1上の点Hについて、
OH↑=(1,1,0)+s(1,1,-1)=(1+s,1+s,-s)
AH↑=OH↑-OA↑=(2+s,s,2-s)
l1の方向ベクトル、u↑=(1,1,-1) とAH↑は垂直だから、
u↑・AH↑=2+s+s-(2-s)=3s=0 より、s=0
よって、OH↑=(1+s,1+s,-s)=(1,1,0)
（２）
l1上の点Pについて、
OP↑=(1,1,0)+s(1,1,-1)=(1+s,1+s,-s)
l2上の点Qについて、
OQ↑=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)=(-1,1-2t,-2+t)
PQ↑=OQ↑-OP↑=(-2-s,-2t-s,-2+t+s)
l1の方向ベクトル、u↑=(1,1,-1) とPQ↑を垂直とすれば、
u↑・PQ↑=(-2-s)+(-2t-s)-(-2+t+s)=-3s-3t=0 ・・・①
l2の方向ベクトル、v↑=(0,-2,1) とPQ↑を垂直とすれば、
v↑・PQ↑=-2(-2t-s)+(-2+t+s)=5t+3s-2=0 ・・・②
①②より、
s=-1
t=1
このとき、線分PQの長さは最小となり、
|PQ↑|min=|(-2-s,-2t-s,-2+t+s)|
=|(-1,-1,-2)|
=√6
になると思います。答えの確認をお願いします。
ベクトルは↑で表現しております。ご了承ください。
（１）
l1上の点Hについて、
OH↑=(1,1,0)+s(1,1,-1)=(1+s,1+s,-s)
AH↑=OH↑-OA↑=(2+s,s,2-s)
l1の方向ベクトル、u↑=(1,1,-1) とAH↑は垂直だから、
u↑・AH↑=2+s+s-(2-s)=3s=0 より、s=0
よって、OH↑=(1+s,1+s,-s)=(1,1,0)
（２）
l1上の点Pについて、
OP↑=(1,1,0)+s(1,1,-1)=(1+s,1+s,-s)
l2上の点Qについて、
OQ↑=(-1,1,-2)+t(0,-2,1)=(-1,1-2t,-2+t)
PQ↑=OQ↑-OP↑=(-2-s,-2t-s,-2+t+s)
l1の方向ベクトル、u↑=(1,1,-1) とPQ↑を垂直とすれば、
u↑・PQ↑=(-2-s)+(-2t-s)-(-2+t+s)=-3s-3t=0 ・・・①
l2の方向ベクトル、v↑=(0,-2,1) とPQ↑を垂直とすれば、
v↑・PQ↑=-2(-2t-s)+(-2+t+s)=5t+3s-2=0 ・・・②
①②より、
s=-1
t=1
このとき、線分PQの長さは最小となり、
|PQ↑|min=|(-2-s,-2t-s,-2+t+s)|
=|(-1,-1,-2)|
=√6
になると思います。答えの確認をお願いします。
ベクトルは↑で表現しております。ご了承ください。