数学II 図形と方程式の点と直線の距離について

[ゲスト]

数学II 図形と方程式の点と直線の距離について
d=|t-2t²-4|=|2t²-t+4|と絶対値の中身の符号を変えていました。
(この話に分母は関係ないので省略しています。)

これは最小値を求める問題だったため２乗の係数をプラスにしたいからこうしたのだと勝手に理解。

また別の問題で

d=|-t²+10t-21|は最大を求める問題だったため２乗の係数はマイナスのまま符号を変えることなくそのまま計算を進めたのだと勝手に理解。(同じく分母省略)

また別の可能性として最初の符号を変えた後の式であるd=|2t²-t+4|の中身を平方完成すると2(t-1/4)²+31/8＞0が言えるので臨機応変に符号を変えてもOKだったのでは？とも推測していますが自分の今の理解では断言できていません。

その辺の曖昧な部分が自分にとって気持ち悪いので解説お願いします。

[ゲスト]

|-a|=|a|
を用いています。


(例)
|-1|=-(-1)=1=|1|


後半は、
ご指摘のように、
[ 正値式の和 ]
(実数)²+(正の数p)≧p>0
を用いています。

[ゲスト]

dがtの２次関数として考えると、tの式に絶対値が付いているので、dは必ず正の値になりますよね。

今回のご質問では直線の距離を求めるようなので、そのことからも必ず正の値になることがわかると思います。

絶対値がついていると、グラフとしては添付①もしくは添付②の形になります。

臨機応変に符号を変えるというよりも、
t^2の正負の符号や、添付③のように平方完成して必ず正であることが明らかな場合など、
関数の形によって符号が変わります。