方べきの定理についてわからない部分があります
方べきの定理について質問です。
直径が2である円Oにおいて、１つの直径ABをBの方に延長して、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT、ATの長さを求めよ。
方べきの定理を使って、CT=2√6と出たのですが、ATの長さが出そうで出ません。
解法を教えてください。
方べきの定理についてわからない部分があります
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ゲスト
Re: 方べきの定理についてわからない部分があります
解いてみたらすごく難しくて、面倒なやり方になってしまった感もありますが一応参考にしてもらえればと思います。
直径に対する円周角なので
角ATB=90°
よって△ABTにおいて三平方の定理(ピタゴラスの定理)より
AT^2+BT^2=4(AB^2)・・・①
ここでAにおける円Ｏの接線を引いて、それとCTとの交点をXと置く。
よって、同一円の二本の接線の交点から各々の接点に引いた、二本の線分の長さは等しいので
XA=XT・・・②
線分AOにおいて、接線と、円の中心から接点に下ろした直線は直交するので
角OAX=90°⇔角CAX=90°
よって△ACXにおいて三平方の定理より
$36(AC^2)+XA^2=XC^2$
⇔$36(AC^2)+XA^2=(CT+XT)^2・$・・③
②③より
$36+XA^2=(CT+XA)^2$
右辺を展開して整理して(CTは計算していただいた通り2√6)
$36+XA^2=(2√6)^2+2(2√6)XA+XA^2$
⇔3$6+XA^2=24+(4√6)XA+XA^2$
⇔12=(4√6)XA
⇔XA=√6/2・・・④
円ＯとCTにおいて、接弦定理より
角ATX=角TBA⇔角ATX=角TBO・・・⑤
△AXTと△BOTはどちらも二等辺三角形なので、
角ATX=角TAX・・・⑥
角TBO=角BTO・・・⑦
△AXTと△BOTにおいて⑤⑥⑦より
角ATX=角BTO
角TAX=角TBO
よって二角相等より
△AXTと△BOTは相似
⇔AT:BT=XA:OB
よって④より
AT:BT=√6/2 : 1 (OBは半径なので1)
⇔$AT^2:BT^2=3:2・・・⑧$
①⑧より
$AT^2=4×3/5=12/5$
⇔AT=±√(12/5)=±(2√15/5)
AT>0なので
AT=2√15/5
間違ってたらごめんなさい
直径に対する円周角なので
角ATB=90°
よって△ABTにおいて三平方の定理(ピタゴラスの定理)より
AT^2+BT^2=4(AB^2)・・・①
ここでAにおける円Ｏの接線を引いて、それとCTとの交点をXと置く。
よって、同一円の二本の接線の交点から各々の接点に引いた、二本の線分の長さは等しいので
XA=XT・・・②
線分AOにおいて、接線と、円の中心から接点に下ろした直線は直交するので
角OAX=90°⇔角CAX=90°
よって△ACXにおいて三平方の定理より
$36(AC^2)+XA^2=XC^2$
⇔$36(AC^2)+XA^2=(CT+XT)^2・$・・③
②③より
$36+XA^2=(CT+XA)^2$
右辺を展開して整理して(CTは計算していただいた通り2√6)
$36+XA^2=(2√6)^2+2(2√6)XA+XA^2$
⇔3$6+XA^2=24+(4√6)XA+XA^2$
⇔12=(4√6)XA
⇔XA=√6/2・・・④
円ＯとCTにおいて、接弦定理より
角ATX=角TBA⇔角ATX=角TBO・・・⑤
△AXTと△BOTはどちらも二等辺三角形なので、
角ATX=角TAX・・・⑥
角TBO=角BTO・・・⑦
△AXTと△BOTにおいて⑤⑥⑦より
角ATX=角BTO
角TAX=角TBO
よって二角相等より
△AXTと△BOTは相似
⇔AT:BT=XA:OB
よって④より
AT:BT=√6/2 : 1 (OBは半径なので1)
⇔$AT^2:BT^2=3:2・・・⑧$
①⑧より
$AT^2=4×3/5=12/5$
⇔AT=±√(12/5)=±(2√15/5)
AT>0なので
AT=2√15/5
間違ってたらごめんなさい