高1の複素数の問題で質問です。

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高1の複素数の問題で質問です。
「zの2乗=iを満たす複素数ｚを求めよ。」
この問題はどういう風に問いていけばいいのでしょうか。
高3の内容に理解できると思いますので、別解などがありましたら、そちらもよろしくお願いいたします。

[ゲスト]

いろいろあります。

１．z = a + b i とおく。
$(a + b i)^2 = i$
とおけば、
$a^2 + 2 a b i - b^2 = i$
実部と虚部を比較して、
$a^2 - b^2 = 0 -> (a + b)(a - b) = 0$
2 a b i = i → 2 a b = 1
(1-1) a = b の時、
2 a b = 1 により、2 $a^2 = 1$
a = 土(√2)/2
当然、b = 土(√2)/2
これより、求める複素数は、
z = 土(√2)(1 + i)/2
(1-2) a = -b の時、
2 a b = -1 により、2 $a^2 = -1$
a = 土(√2) i /2
当然、b = 干(√2) i /2
これより、求める複素数は、
z = {土(√2) i /2} + {干(√2) i /2} i = {土(√2) i /2} + {土(√2)/2}
z = 土(√2)(1 + i)/2

２．複素平面を考える方法
z = a (cosθ+ i sinθ)
$z^n = a^n (cosθ+ i sinθ)^n = a^n {cos (nθ) + i sin (nθ)}$
(de Moivre の公式)
をもちいる。

上の２つの式から、1つ目の式を使って、純虚数i表現すると、
z = i
a = 1
θ= (π/2) + 2nπ
i = cos {(π/2) + 2nπ}+ i sin {(π/2) + 2nπ}
2つ目の式を、使って方程式にすると、
z^2 = i = a^2 {cos (2θ) + i sin (2θ)}
なので、|i| = 1 → a = ±1(上で一般角を採用したので、a = 1 のみでよい)。また、z^2 = i
よって、両式を等置して、
cos {(π/2) + 2nπ} + i sin {(π/2) + 2nπ} = cos (2θ) + i sin (2θ)
辺々比較すれば、
θ = (π/4) + nπ
n が偶数の時は、
cos {(π/4) + nπ} = (√2)/2
i sin {(π/4) + nπ} = (√2) i /2
n が奇数の時は、
cos {(π/4) + nπ} = -(√2)/2
i sin {(π/4) + nπ} = -(√2) i /2
従って、
z = (√2)(1 + i)/2、z = －(√2)(1 + i)/2

３．高次方程式による方法
$z^2 = i $なので、$z^4 = -1$
(但し、この場合、$z^2 = -i $であっても、$z^4 = -1$ となるので、解が求まった後の吟味が必要)

$z^4 = -1$
$z^4 + 1 = 0$
$z^2 + 2 z^2 + 1 - 2 z^2 = 0$
$(z^2 + 1) - 2 z^2 = 0$
${z^2 - (√2) z + 1} {z^2 + (√2) z + 1} = 0$
$z^2 - (√2) z + 1 = 0 $からは、
z = {(√2)±(√2) i}/2 = (√2) {1土i}/2
$z^2 + (√2) z + 1 = 0 $からは、
z = {- (√2)±(√2) i}/2 = (√2) {-1土i}/2
が出る。
z = (√2) {1土i}/2 の場合は、
$z^2 = (1 - 1 土 2 i)/2 = 土 i$
(複号同順)なので、複号は正の
z = (√2) {1 + i}/2 が妥当。
z = (√2) {-1土i}/2 の場合は、
$z^2 = (1 - 1 干 2 i)/2 = 干 i$
(複号同順)なので、複号は当初が負の
z = (√2) {- 1 - i}/2 = - (√2) {1 + i}/2 が妥当。