整数を数列の複合問題が分かりません

[ゲスト]

ｎを３以上の自然数とする｡平面上にいずれの３直線も１つの三角形を決定するように順に直線を置いていく。
ｎ本の直線を置いたとき平面はいくつの有限の面積をもつ部分といくつの無限の面積をもつ部分とに分けられるか。
を解いてください!!

[ゲスト]

いずれの３直線も１つの三角形を決定するということは、
どの直線も平行ではなく、必ず全ての直線と交点を持つということです。


[有限の面積をもつ部分について]
ｎ本目の直線を引いたとき、すでにある(n-1)本の直線とすべて交点を持つので、
有限面積をもつ部分は(n-2)個増えます。
(何本か直線を引いてみれば、有限面積をもつ部分は交点の数より１つ少ない数だけ増えるということはわかると思います。）

以上より、
ｎ本の直線を引いたときにできる有限面積をもつ部分の個数は、
1+Σ(k=4→n) (k-2)=(n-2)(n-1)/2 …(答)

(n=3のとき１個、そこから階差数列の和を足しました。)


[無限の面積をもつ部分について]
１本のとき、２つ
２本のとき、４つ
３本のとき、６つ…

直線を１本引くと、無限面積をもつ部分は、２つ増えます。
よって、ｎ本直線を引いたときの無限面積をもつ部分の数は、
２ｎ…（答）
となります。