二次関数の場合分けについてわからない部分があります

[ゲスト]

なぜ(4)では、(3)のように「軸の範囲」が必要無いのでしょうか。よろしくお願いいたします。

・分かったところ
「判別式」は　f(2)＜0で要らないのは分かるのですが、「軸の範囲」は条件式を立てる段階で必要無い理由がわかりません。

解の存在範囲の初歩的な問題ではありますが、(軸　端点　判別式) の条件をいつどのように使うかが曖昧になってつまづいてしまったので教えて頂きたいです。

[ゲスト]

この2次関数は下に凸のグラフであることから、0と2の間に解を持ち、2と4の間にも解を持つ条件は以下の3つです。
\begin{equation}
f(0)>0
\end{equation}
\begin{equation}
f(2)<0
\end{equation}
\begin{equation}
f(4)>0
\end{equation}

なぜこれだけでよく、軸の範囲は不要なのか、グラフを書いてみるとわかりやすいです。

添付画像を見てください。

上の3つの条件を満たせば、必ず2解を持ちます。
わざわざ軸の範囲を計算しなくても条件式は十分なので、他の条件は必要ありません。

実際、上記3つの条件を満たす下に凸のグラフを描こうとすると、添付画像以外の形にはできないはずです。

[補足]
場合分けの問題では原則以下の3つの条件を使用します。

①軸の範囲
②判別式
③あるxの値におけるyの値

ただし、すべて使わずに最低限必要な条件だけを使用します。