微分したことの意味が分かりません

[ゲスト]

なぜ関数を2階微分すると、2階微分した関数の正負が元の関数の凹凸と一致するんですか？

[ゲスト]

まず、第一次導関数(質問者様が言うところの一回微分したもの)と第二次導関数(二回微分したもの)が何を表すか説明します。


第一次導関数は関数f(x)がどのような変化をしているか、つまり第一次導関数によってf(x)がどのような変化をしているのかを意味しています。これがf(x)の増加、減少として表されるわけです。

さて問題は第二次導関数の方でしょう。第二次導関数も意味することは第一次導関数と同じようなものです。第一次導関数がf(x)の増加、減少を意味するのに対し、第二次導関数は第一次導関数の増加、減少を意味します。

では、第一次導関数が増加、減少するとどうなるのかが問題となります。

第一次導関数はf(x)のある点における接線の傾きを意味します。傾きが大きければ大きいほど、その付近のグラフは急なグラフになります。そして0に近づけば近づくほど緩やかになっていき、小さくなれば小さいほどまた急になっていきます。

つまり第一次導関数の増加、減少がわかればf(x)のグラフの傾斜がわかる、故にグラフがきれいに書けるということで第二次導関数を求めます。

一般的にどの問題に第二次導関数が必要である、などは決定できませんが、グラフを書けという指示がある問題には大抵第二次導関数が必要となります。

ちなみにf(x)=2sinx-xの増減を調べる問題はf(x)の概形は特に必要ないので第一次導関数までで十分です。