二次方程式の解の配置問題について

[ゲスト]

理系数学の良問プラチカ5番の問題について質問です。
2次方程式mx^2-x-2=0の2つの実数解が,それぞれ以下のようになるためのmの条件を求めよ．

(1)2つの解がともに-1より大きい．
(2)1つの解は1より大きく,他の解は1より小さい．
(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい．

この問題の解説お願いします。mの範囲の決め方がイマイチわからず困っています。
ご回答お待ちしております。

[ゲスト]

二次方程式
mx²-x-2=0
が実数解を持つとき
y=f(x)
=mx²-x-2
と置くと、
y=f(x)と、x軸との共有点のx座標が、
f(x)=0の実数解

f(0)=-2<0

(1)α>-1、β>-1
(i)m>0のとき
f(-1)>0
(ii)m<0のとき
(-1)²-4・m・(-2)≧0

(2)(α-1)(β-1)<0
m・f(1)<0

(3)-1<α<1、-1<β<1
f(-1)>0、かつ、f(1)>0


如何でしようか？
後はできますね。
点(0,-2)を通るグラフをいくつか
描いてみて下さいね。

[ゲスト]

mx^2-x-2=0の2つの実数解というのは、
言い換えると、f(x)=mx^2-x-2という2次関数と、
y=0のx軸との交点の個数が2個あるということですよね。

mの正負の符号によってグラフの凸の向きが変わることに注意して、それぞれの問題を見ていきましょう。

(1)2つの解がともに-1より大きい
添付1枚目を見てください。
m>0の場合、グラフのような形を満たすには以下3つの条件が必要です。
\begin{equation}
f(-1)>0
\end{equation}
\begin{equation}
軸>0
\end{equation}
\begin{equation}
判別式D>0
\end{equation}
また、m<0の場合は以下3つの条件を満たす必要があります。
\begin{equation}
f(-1)<0
\end{equation}
\begin{equation}
軸>0
\end{equation}
\begin{equation}
判別式D>0
\end{equation}
(2)1つの解は1より大きく,他の解は1より小さい．
添付2枚目を見てください。
m>0の場合、グラフのような形を満たすには以下1つの条件が必要です。
\begin{equation}
f(1)<0
\end{equation}
また、m<0の場合は以下1つの条件を満たす必要があります。
\begin{equation}
f(1)>0
\end{equation}
※(2)の場合、軸や判別式の条件は不要です。
　上記の条件さえクリアしていれば、
　必ず添付2枚目のようなグラフになるので、
　軸や判別式の条件までは必要ありません。
　
(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい
添付3枚目を見てください。
絶対値が1よりも小さいということは、
グラフで言い換えると、
『f(x)とx軸との2つの交点が、-1から1の間にある』
ということです。

m>0の場合、グラフのような形を満たすには以下4つの条件が必要です。
\begin{equation}
f(1)>0
\end{equation}
\begin{equation}
f(-1)>0
\end{equation}
\begin{equation}
-1<軸<1
\end{equation}
\begin{equation}
判別式D>0
\end{equation}
また、m<0の場合は以下4つの条件を満たす必要があります。
\begin{equation}
f(1)<0
\end{equation}
\begin{equation}
f(-1)<0
\end{equation}
\begin{equation}
-1<軸<1
\end{equation}
\begin{equation}
判別式D>0
\end{equation}
詳しい計算は割愛しますが、上記の考え方で解いてみましょう。