数列の漸化式についてです

[ゲスト]

至急‼︎数列の問題がわからないので、教えてください！

数列{an} (a₁=a>0)に対して数列(b)を b₁=a,
bn=an-an-1 (n≥2) で定義する。 また、S_{n} = Σ(k=1~n)= 1 /a 1 + 1 /a 2 +•••+ 1 /a n と置く。数列{bn}が公差 d>0の等差数列であるとする。 (1) anを求めよ。
(2) d=1, a=1, n≥2のとき、Snを求めよ。

答えは(1)an=1/2n{2a+(n-1)d},(2)sn=2n/(n+1)
です。

[ゲスト]

aₙ-aₙ₋₁ = bₙ

n≧2において
Σ(aₖ-aₖ₋₁) = Σbₖ (2≦k≦n) …(＊)

また ,
Σbₖ (2≦k≦n) = Σbₖ -b₁ (1≦k≦n) より
(＊) ⇔ aₙ-a₁ = Σbₖ -b₁ (1≦k≦n)

a₁ = b₁ = a であるので
aₙ = Σbₖ (1≦k≦n)

条件から
bₖ = a+d(k-1) を代入

aₙ = Σ{a+d(k-1)} (1≦k≦n)
= an + dΣ(k-1) (1≦k≦n)
= an + dΣj (1≦j≦n-1)
= an + dn(n-1)/2
= n{2a+d(n-1)}/2

これはn = 1のときも成り立つ

d = 1 , a = 1を代入して
aₙ = n(n+1)/2

n≧2において
Sₙ = Σ1/aₖ = Σ2/k(k+1) = 2Σ{1/k -1/(k+1)} = 2{1 -1/(n+1)}

∴ Sₙ = 2{(n+1)-1}/(n+1) = 2n/(n+1)

答えの確認を願いします。