整数の性質について質問があります。

[ゲスト]

p,qを実数としp<qとする. さらに、３つの数4, p, qをある順に並べると等比数列になり，ある順に並べると等差数列となるとする. このときp,qの組(p,q)をすべて求めよ.
という問題なのですが, 写真の解説を見ると, 「公比が正である場合は等差数列のグラフと等比数列のグラフは多くとも二点でしか交わらないので公比が正の場合はありえず, 公比は負である.」と書いてあるのですが，なぜそういえるのでしょうか？
※等比数列と等差数列で 3つの項の順番は異なってよいです

[ゲスト]

素直にやっても、解決する問題。

p<q、だから
① 等差数列で、4＞ｑ＞ｐ、の時 → 2q＝4＋p
等比数列について、3つの場合がある。
・q＾2＝4p＞0 の時、連立すると、p＝4から不適。
・p＾2＝4q＞0 の時、連立すると、q＞0、q≠4から、q＝1。→ p＝－2
・16＝pq＞0 の時、連立すると、q≠4から、q＝－2。→ p＝－8

② 等差数列で、q＞4＞p、の時 → 8＝q＋p
等比数列について、3つの場合がある。
・q＾2＝4p＞0 の時、連立すると、p＝4、16 →
q＝4、8から、p<qにより不適。
・p＾2＝4q＞0 の時、連立すると、
q＝16から、q＞4＞pから、p＝－8。
・16＝pq＞0 の時、連立すると、p＝4から、不適。

③ 等差数列で、q＞p＞4、の時 → 2p＝4＋q
等比数列について、3つの場合がある。
・q＾2＝4p＞0 の時、連立すると、q＝2、から、p＝1。
しかし、q＞p＞4により不適。
・p＾2＝4q＞0 の時、連立すると、p＝4、から、不適。
・16＝pq＞0 の時、連立すると、q＝4から、不適。


以上から、(p、q)＝(－2、1)、(－8、－2)、(－８、16)、の3通り

等差数列の一般項はnの一次関数（直線）
等比数列の一般項はnの指数関数（下に凸で単調増加，または上に凸で単調減少）
ですので，両者が3回以上交わることはありませんね．