積分と無限大の関係について

[ゲスト]

積分の問題についてです。教科書の問題なのですが、解説がないため困っています。
キーボードでの打ち込み方がわからないため、画像データで申し訳ありません。
お手数ですが途中式も記入していただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。

[ゲスト]

おはようございます。
解答させていただきます。
普通に計算すると以下のようになりますが$、1/0^3$は定義できないのでバグります。なので、逆関数の考え方を用いましょう。
∫[0~∞]x⁻⁴dx
=x⁻³/3[0~∞]

f(x)=x⁻⁴とします。すると、f⁻¹(x)=x^(-1/4)となり、f(x)=f⁻¹(x)はf(x)=x=1の時に成り立ちます。

∫[0~∞]x⁻⁴dx=∫[0~∞]f(x)dx
=∫[0~1]f(x)dx+∫[1~∞]x⁻⁴dx
=∫[0~1]f(x)-1dx+1+(x⁻³/3[1~∞])
=∫[1~∞]f⁻¹(x)dx+1+(1/3)
=(4x^(3/4)/3[1~∞])+4/3
=4/3+4/3
=8/3

写真を見れば以下の事実がわかりやすいと思います。
∫[0~∞]f(x)dx=∫[1~∞]f⁻¹(x)dx+∫[0~1]dx+∫[1~∞]f(x)dx

以上が解答になります。ご確認をお願いします。