一橋大学の入試問題解説をお願いします。

[hashimoto]

（２）は1から８で割り切れない確率を引いて求めますが、その際に4が何回でてくるかで場合分けをするとうまくいき、
4が0回、2が2回出る確率を求めるときに2が2回出るうちのそれぞれの2でも別の２だと考えて、右で書いたんですが、解答の方は左で、つまり、2回出るうちそれぞれでは同じ２と考えているということになると思うんですが、なぜそのようになりますか？
(1)も答えに自信がありませんので、どなたか教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。一橋大学出身者の方でお願いしたいです。

[harusame]

(1)
（１）$X_n≦n+3$となるという場合は、$n$枚のカードが
①全部１だった場合。
②１枚だけ２～４のどれかで、あとは全部１だった場合
③２枚だけ２が出て、あとは全部１だった場合
④１枚だけ２，１枚だけ３で、あとは全部１だった場合
⑤３枚だけ２で、あとは全部１だった場合
しかありません。

そこで、それぞれのケースが何通りあるか調べます。
①は当然１通り
②は、ｎ回の中でどこか１回２～４が出てくるケースなので、$3n$通り
③は、$nC_2=\frac{n(n-1)}{2}$通り
④は、$n(n-1)$通り（$2と3$の順番が逆であれば別に数えるので③と違って２で割らない。）
⑤は、$nC_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{2 \times 3}$通り
全部あわせると、$\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6}$通りになり、
因数分解し、$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$通りになります。

$X_n≦n+3$以外の場合も含め、すべてのケースは全部で$4^n$通りありますから、
求める確率は$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6 \cdot 4^n}$

[harusame]

(2)
$Y_nが8で割り切れないのは$
(a)全部奇数
(b)4がなく、2が1か2回出たとき
(c)4が1回、後は奇数
の3パターンです。

(a)
$1または3のカードがn回出るから2^n通り$
(b)
$2が1回、他は奇数 \cdots nC_1 \cdot 2^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}$
$2が2回、他は奇数 \cdots nC_2 \cdot 2^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2}$
(c)
$4が1回、他は奇数 \cdots n \cdot 2^{n-1} $
よって、求める確率は
\[ 1-\frac{2^n+n \cdot 2^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}+n \cdot 2^{n-1}}{4^n}
=1-\frac{2^{n+1}+n \cdot 2^{n}+n(n-1)\cdot 2^{n-2}+n \cdot 2^{n}}{4^n}
=1-\frac{2^{n-2}[2^3+n \cdot 2^2+n(n-1)+n \cdot 2^2]}{2\cdot 4^n}
=1-\frac{2^{n-2}(n^2+7n+8)}{2 \cdot 4^n}
=1-\frac{n^2+7n+8}{2^{n+3}}\]

[ゲスト]

簡単にいうと確率を考えている時の2ではないから同じとして考えます