微分の定義についてわからない部分があります。

[ゲスト]

数学 微分の定義の質問です。
たまに問題に「導関数の定義に従って
関数を微分せよ。」とか、「定義に従って導関数を求めよ」という言い回しがありますが理解に苦しみます。

「y=x^2を導関数の定義に従って関数を微分せよ」
→導関数=微分なので、微分の定義に従って関数を微分するてことですよね。
Q.「微分の定義に従って関数を微分せよ」とは？

①「定義に従って」とは…？lim h→0 f(x＋h)−f(x)/hの、f(x＋h)の二項定理から、定義に従って導かれる公式y'=nx^n−1は使えないんですか？
それなら計算を公式で省略するなって言った方が的確なような…

②そもそも「微分する」ってどういう意味の動詞なんですか？導関数を求めるって意味で記憶してますが、なぜ導関数を求める=微分するなのか理由は分からないです。

③微分=導関数って本当にそうなんですかね？似てるだけで定義が違うような気がしてます。
導関数は、もとの関数から導かれるもう1つの関数で、微分係数の一般形みたいな認識です。
微分は、変数の微小な変化に対応する、関数の平均変化率の極限値の総称。微分係数の総称みたいな認識です。


以上、自分の見解です。勉強中なのでダメ押しと納得できる説明をお願いします。①②③全ての質問に答えなくても大丈夫です。


どれかでもいいのでご回答、よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

①
>定義に従って導かれる公式$y^{\prime}=nx^{n-1}$は使えないんですか？
はい、そうです

②、③
関数$f(x)$から$f^{\prime}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$を求めることを
微分するといい、$f^{\prime}(x)$を導関数といいます。このあたりは定義（言葉の意味の設定）なので
理由を求めても意味はありません.詳しいことは教科書に書いてあるので
再度確認しましょう。

[miyaji]

f(x)のx=aにおける微分係数の定義は
lim h→0 {f(a+h)-f(a)}/h

導関数の定義は
lim h→0 {f(x+h)-f(x)}/h …★
で、これはxにaを代入するとaにおける微分係数を返す関数になっている。
微分とは、導関数を求める「操作」のこと。

1. 公式y'=nx^n−1は使えないんですか？
使えません。f(x)=x^nとして★に代入し、二項定理を使って自力でnx^(n-1)を求めろという意味。

2. なぜ導関数を求める=微分するなのか
導関数を求める操作のことを微分と名付けたから。単なる言葉の定義なので意味はない。

3. 微分=導関数って本当にそうなんですかね？
導関数のことを微分と呼ぶ人もいる。
微分係数のことを省略して微分と呼ぶ人もいる。
用語や記号は文脈によって意味が違うことがあるから適宜解釈しないといけない。特に大学以降は。
一応、高校数学用語としては微分とは導関数を求める操作のことだったはず。

以上の解答になります。よろしくお願いいたします。