高校3年生です。数学の問題なのですが、わからないので教えてください。
半径3の円Oがある。この直径AB上の点Pを通り、直線ABに垂直な弦QRを底辺とする正三角形を、円Oの面に対して垂直に作る。円の中心Oを原点に、直線ABをx軸にとり、Pの座標をxとする。PがAからBまで動くとき、この正三角形が通過してできる立体の体積Vを求めよ。
よくわかりませんでしたので、解答をよろしくお願いします。
体積の計算について質問があります。
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Re: 体積の計算について質問があります。
$RQ(正三角形の一辺)=2\sqrt{9-x^2}$
正三角形の面積を$S(x)$とすると
\[S(x)=\frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{9-x^2})^2 \sin{60^{\circ}}=\sqrt{3}(9-x^2)\]
よって、求める体積は$V$は
\[V=\int_{-3}^{3} S(x)dx=\int_{-3}^{3} \sqrt{3}(9-x^2)dx=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{6}[3-(-3)]^3\]
\[=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot 6^3=36\sqrt{3}\]
正三角形の面積を$S(x)$とすると
\[S(x)=\frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{9-x^2})^2 \sin{60^{\circ}}=\sqrt{3}(9-x^2)\]
よって、求める体積は$V$は
\[V=\int_{-3}^{3} S(x)dx=\int_{-3}^{3} \sqrt{3}(9-x^2)dx=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{6}[3-(-3)]^3\]
\[=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{6} \cdot 6^3=36\sqrt{3}\]
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