期待値の計算について

[ゲスト]

高校1年生数学の確率の問題です。本当に混乱しています。助けてください。文が下手なので質問内容を理解できないかもしれません。でもどうかお願いします。
10本中４本の当たりくじがある。このくじを一本ずつ3回引く。ただし引いたくじは戻さないとする。
当たり本数の期待値を求めよ。

この問題の解き方について質問です。なぜ、あたりが1本の時の確率を計算するときに
1本目にあたりがくる確率
２本目に当たりがくる確率
３本目に当たりが来る確率
と、〜本目に当たる確率
を求めなくてはいけないのですか？
また、他の似たようなくじの期待値の問題では
これらを求めなかったようなような気がします。
公式は理解しているつもりです。基礎も教えていただけるとありがたいです。

[ゲスト]

結論から言うと「引いたくじを戻さない」からです。
当たりが一本のとき
(Ⅰ)１本目にあたりがくる確率は
\[ \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8}\]
(Ⅱ）２本目にあたりがくる確率は１本目が外れだから
\[ \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \]
(Ⅲ）３本目にあたりがくる確率は１本目、２本目が外れだから
\[ \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8}\]
のように確率が変わるので、～本目にあたる確率を求める必要が出てきます。

[ゲスト]

また、別解として、4本の当たりくじから1本、6本のはずれくじから2本を引く確率から、
\[ \frac{_4C_1 \cdot _6C_2}{_{10}C_3}=\frac{4 \cdot 15}{120}=\frac{1}{2} \]
とする方法もあります。