『Ａ市の人口は近年増加傾向にある。
現在、Ａ市の人口は前年同時期の人口と比べて８％増加している。
毎年この比率で増加するとした場合、人口が現在の４倍を超えるのは何年後か。
ただし、log<10>2=0.3010、 log<10>3=0.4771とする。』
という問題が分かりません・・・。
解き方は、求めたいものを文字にして、常用対数が与えられているから、それを使える形に変えていって解くんじゃないのかなって分かって、回答のところに書いてあることも分かったんですが、
解説の部分には、
『現在の人口をPとし、ｎ年後に人口が現在の4倍を超えるとすると、
1.08^nP>4P』 と書いてあったんですけど、
この1.08^nPっていうのが分かりません。。。
どうやって考えればいいんですか？
どなたか解答をよろしくお願いいたします。
対数の文章問題が分かりません
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yuusuke
Re: 対数の文章問題が分かりません
はじめました。以下に解説を書きます。
現在の人口をＰとすると、１年後には８％
増えていますから、１年後の人口をＰ₁と
すると、以下のようになります。
Ｐ₁＝Ｐ・(１＋０．０８)＝１．０８・Ｐ
同様に、２年後の人口をＰ₂とすると、
更に８％増えていますから、以下のように
なります。
Ｐ₂＝Ｐ₁・(１＋０．０８)＝１．０８・Ｐ₁
＝１．０８・(１．０８・Ｐ)＝１．０８＾2・Ｐ
・・・
このように考えていくと、ｎ年後の人口をＰｎ
とすると、”Ｐn＝１．０８＾n・Ｐ”となります。
Ｐnが現在の人口Ｐの４倍よりも大きくなります
から、”Ｐn＝１．０８＾n・Ｐ＞４Ｐ”となります。
当然ですが”Ｐ＞０”なので、”１．０８＾n＞４”
をｎについて解きます。
１．０８＾n＞４ ・・・①
①の両辺の対数を取ります。底を１０にして、かつ、
表示を省略します。
ｌｏｇ１．０８＾n＞ｌｏｇ４、ｎ・ｌｏｇ１．０８＞ｌｏｇ４
ｎ・ｌｏｇ(１０８／１００)＞ｌｏｇ４
ｎ・(ｌｏｇ１０８－ｌｏｇ１００)＞ｌｏｇ４
ｎ・{ｌｏｇ(２＾2・３＾3)－ｌｏｇ１０＾2}＞ｌｏｇ２＾2
ｎ・(ｌｏｇ２＾2＋ｌｏｇ３＾3－ｌｏｇ１０＾2)＞ｌｏｇ２＾2
ｎ・(２ｌｏｇ２＋３ｌｏｇ３－２ｌｏｇ１０)＞２ｌｏｇ２
ｎ・(２・０．３０１０＋３・０．４７７１－２)＞２・０．３０１０
０．０３３３・ｎ＞０．６０２０
ｎ＞１８．０７８１
よって、１９年後になります。
現在の人口をＰとすると、１年後には８％
増えていますから、１年後の人口をＰ₁と
すると、以下のようになります。
Ｐ₁＝Ｐ・(１＋０．０８)＝１．０８・Ｐ
同様に、２年後の人口をＰ₂とすると、
更に８％増えていますから、以下のように
なります。
Ｐ₂＝Ｐ₁・(１＋０．０８)＝１．０８・Ｐ₁
＝１．０８・(１．０８・Ｐ)＝１．０８＾2・Ｐ
・・・
このように考えていくと、ｎ年後の人口をＰｎ
とすると、”Ｐn＝１．０８＾n・Ｐ”となります。
Ｐnが現在の人口Ｐの４倍よりも大きくなります
から、”Ｐn＝１．０８＾n・Ｐ＞４Ｐ”となります。
当然ですが”Ｐ＞０”なので、”１．０８＾n＞４”
をｎについて解きます。
１．０８＾n＞４ ・・・①
①の両辺の対数を取ります。底を１０にして、かつ、
表示を省略します。
ｌｏｇ１．０８＾n＞ｌｏｇ４、ｎ・ｌｏｇ１．０８＞ｌｏｇ４
ｎ・ｌｏｇ(１０８／１００)＞ｌｏｇ４
ｎ・(ｌｏｇ１０８－ｌｏｇ１００)＞ｌｏｇ４
ｎ・{ｌｏｇ(２＾2・３＾3)－ｌｏｇ１０＾2}＞ｌｏｇ２＾2
ｎ・(ｌｏｇ２＾2＋ｌｏｇ３＾3－ｌｏｇ１０＾2)＞ｌｏｇ２＾2
ｎ・(２ｌｏｇ２＋３ｌｏｇ３－２ｌｏｇ１０)＞２ｌｏｇ２
ｎ・(２・０．３０１０＋３・０．４７７１－２)＞２・０．３０１０
０．０３３３・ｎ＞０．６０２０
ｎ＞１８．０７８１
よって、１９年後になります。