微分と接線について質問があります

[ゲスト]

曲線y=x^3-6xに点A(2,p)から接線を引くとき、
(1)曲線上の点T(t,t^3-6t)における接線の方程式を求めよ
(2)pをtで表せ
(3)点Aから接線が3本引けるようなpの値の範囲を求めよ。
(3)の解説で点Aから3本の接線が引けるのでp=-2t^3+6t^2-12は異なる３つの実数解を持つ。
というふうに書いてあったんですが異なる3つの実数解を持つと絶対に3本の接線が引けるってことなんですか？それともこの問題の場合のみですか？どなたか解答をよろしくお願いいたします。図などがあればうれしいです。

[ゲスト]

４次関数の接線と違って、３次関数の接線は１つの接点に１本の接線。
従って、接点の個数が接線の本数を与えます。

よって、$f(t)＝2t^3+6t^2-12+p$を微分すると、$f^{\prime}(t)＝6t(t＋2)$、だから
・接線が1本の時 ‥‥ $(極大値) \times (極小値)＝f(0)f(－2)>0。$
・接線が2本の時 ‥‥ $(極大値)\times(極小値)＝f(0)f(－2=0。$
・接線が3本の時 ‥‥ $(極大値) \times (極小値)＝f(0)f(－2)<0。$