積分だと思います

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参考書の「総合問題」というページにありました。
面積を問われているので積分の問題でいいのかと思うのですが、対数なのかな？とか、どこからどう切り込んでいけばいいのか詳しい説明をお願いしたいです！

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(1)
$y=2x^2$と$y=x^2+(4\log_{a}2+\log_{2}a)x-4$を連立すると
\[2x^2=x^2+(4\log_{a}2+\log_{2}a)x-4 \]
\[x^2-(4\log_{a}2+\log_{2}a)x+4=0 \]
\[(x-4\log_{a}2)(x-\log_{2}a)=0 \]
よって $x=4\log_{a}2,\log_{2}a$
ここで$a>4$のとき $\log_{2}a \geq 4\log_{a}2 $
$4\log_{a}2 \leq x \leq \log_{2}a $のとき $y=x^2+(4\log_{a}2+\log_{2}a)x-4$が上側にあるから
\[S=\int_{4\log_{a}2}^{\log_{2}a}[x^2+(4\log_{a}2+\log_{2}a)x-4-2x^2]dx \]
\[=-\int_{4\log_{a}2}^{\log_{2}a}(x-4\log_{a}2)(x-\log_{2}a)dx \]
\[=\frac{1}{6}(\log_{2}a-4\log_{a}2)^3 \]

(2)
\[\frac{1}{6}(\log_{2}a-4\log_{a}2)^3 =\frac{9}{2}\]
\[(\log_{2}a-4\log_{a}2)^3 =27=3^3 \]
よって
\[\log_{2}a-4\log_{a}2=3 \]
底の変換公式から$ \log_{a}2=\frac{1}{\log_{2}a}$より
\[ \log_{2}a-\frac{4}{\log_{2}a}=3 \]
\[ (\log_{2}a)^2-3\log_{2}a-4=0\]
\[(\log_{2}a+1)(\log_{2}a-4)=0 \]
$a>4$ より $\log_{2}a+1>0$
\[ \therefore \log_{2}a=4 \]
\[a=2^4=16 \]

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とても分かり易かったです！
ありがとうございます。