媒介変数と軌跡

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(1)の問題で2つの式を使ってyを消去するところまでは分かります。
でもその後の計算が何をすれば良いのか分かりません。
あと単元には「媒介変数と軌跡」と書いてあったのですが、媒介変数についてよく分かりません。

詳しく教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

[ゲスト]

すみません、問題の写真を送り直します。

[ゲスト]

(1)
$C_1 \colon (x-5)^2+y^2=9$ に$C_2 \colon y=kx $を代入して
\[ (x-5)^2+k^2 x^2=9 \]
整理して
\[ (1+k^2)x^2-10x+16=0 \cdots ① \]
①の判別式を$D$とする。
$C_1とC_2 が異なる2点が交わるから D>0$
ここで
\[D=(-10)^2-4 \cdot (1+k^2) \cdot 16 \]
\[=4[25-16(1+k^2)] \]
\[=4(9-16k^2) \]
$D>0$より$9-16k^2>0$
よって
\[-\frac{3}{4}<k<\frac{3}{4}\]

(2)
①の異なる2解を$\alpha, \beta$とすると
これらはA,Bの$x$座標となる。
A$(\alpha,k\alpha),B(\beta,k\beta)$とする。
解と係数の関係より
\[ \alpha+\beta=-\frac{-10}{1+k^2}=\frac{10}{1+k^2}\]
Pの座標は$y=kx$上にあるから
\[(\frac{\alpha+\beta}{2},k \cdot \frac{\alpha+\beta}{2}) \]
より$k$で表すと
\[ (\frac{5}{1+k^2},\frac{5k}{1+k^2}) \]
\[X=\frac{5}{1+k^2},Y=\frac{5k}{1+k^2} \]
とおく。
$ X \neq 0 $より
\[ \frac{Y}{X}=\frac{5k}{1+k^2} \div \frac{5}{1+k^2}=k \]
②に代入すると
\[X=\frac{5}{1+(\frac{Y}{X})^2}=\frac{5X^2}{X^2+Y^2} \]
\[X^2+Y^2=5X \]
\[X^2+Y^2-5X=0\]
平方完成して
\[(X-\frac{5}{2})^2+y^2=\frac{25}{4}\]
(1)より
\[ k^2< \frac{9}{16} よって 1+k^2<\frac{25}{16} \]
よって
\[X=\frac{5}{1+k^2}>\frac{5}{\frac{25}{16}}=\frac{16}{5} \]
求める軌跡は円
\[(x-\frac{5}{2})^2+y^2=\frac{25}{4} \]
の$x>\frac{16}{5}の部分$

媒介変数表示」の意味≫
「媒介変数表示」というと，なんだか難しそうな言葉ですが，「媒介」とは，双方の間に立ってとりもつことですから，要は $x$ と$y$は変数t を媒介にしてつながっている，ということです。
例えば，時間とともに動く点P$(x,y)$ の座標が時刻$t$によって，
　　$x=2t+5$， $y=t^2-2$
と表されているとします。このとき，時刻$t$の値が１つ決まれば，点Pの座標が１つ決まります。この$t$が媒介変数であり，$x$ と$y$ は媒介変数表示されている，というわけです。

[ゲスト]

媒介変数の説明もありがとうございます！

まだ完璧に理解できたとは言えませんが、なんとなく分かった気がします。2つの変数を1つの文字でそれぞれ表すことが出来る便利な数や式と考えれば良いのでしょうか？

もっと練習します。
ありがとうございます！またよろしくおねがいします！