2次方程式といっていいのか、2次関数といっていいのか悩みますが、最小値を求める問題を教えてください。
a,nが自然数と書いてますが、これをどうやって利用すればいいんでしょうか？
重解の意味もよくわからないので、すみませんが合わせて解説してもらいたいです。
【問題】
a,nは自然数とする。
xの2次方程式
x^2-2ax+n^2+2023=0が重解をもつとき，
aの最小値を求めなさい。
２次方程式？２次関数？の問題がわかりません
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ゲスト
Re: ２次方程式？２次関数？の問題がわかりません
まず、「重解」という熟語をかみ砕いて読んでみましょう
そうすると「重なった解」と読めますよね
文字通り、「重解」とは「重なった解」と言う意味です
有名な「重解」としては二次方程式の「重解」ですね
これを例にとって、どのように「重なった解」か考えてみましょう
まず、二つの実数解$\alpha、\beta$を持つ、
ある二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は
$(x-\alpha)(x-\beta)=0$
と因数分解できるはずです
さて、ここで学校で「二つの実数解を持つ」と断り書きが書かれているときは
「解の数は２つないしは１つ」と教わったと思います
(ただし「異なる二つの実数解を持つ」のときは「解は２つ」ですので注意を！)
と、言うことにより$\alphaと\beta$の関係は
$\alpha \neq \beta $もしくは$ \alpha＝\beta$
と考えられます。
$\alpha \neq \beta$のときは問題ありませんが、$\alpha＝\beta$のときはどうでしょう？
$(x-\alpha)(x-\beta)=0は\alpha＝\betaとなることにより、\betaを\alphaに書き換えられるので$
\[(x-\alpha)(x-\alpha)=0 \]
\[ (x-\alpha)^2=0 \]
と書き直せられるはずです
そうしたら、不思議と$\alphaと\betaが$「重なり」あって「解」$\alpha$になりましたよね！
「重解」はほかに三次以上の方程式でも問われます
そのときも、今回の説明と一緒で「二つ以上の解が重なり合った解」が「重解」となります
(問題の答え)
2次方程式$x^2-2ax+n^2+2023=0$の判別式を$D$とする。
\[D=(-2a)^2-4(n^2+2023)=4(a^2-n^2-2023)\]
より
重解をもつとき$D=0$
したがって
\[a^2-n^2-2023=0\]
\[(a+n)(a-n)=2023=7 \times 17^2 \]
ここで$a,n$は自然数で積が正だから$a+n>a-n>0$
よって
\[(a+n,a-n)=(2023,1),(289,7),(119,17)\]
ゆえに
\[(a,n)=(1012,1011),(148,141),(68,51) \]
$a$の最小値は$a=68$
そうすると「重なった解」と読めますよね
文字通り、「重解」とは「重なった解」と言う意味です
有名な「重解」としては二次方程式の「重解」ですね
これを例にとって、どのように「重なった解」か考えてみましょう
まず、二つの実数解$\alpha、\beta$を持つ、
ある二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は
$(x-\alpha)(x-\beta)=0$
と因数分解できるはずです
さて、ここで学校で「二つの実数解を持つ」と断り書きが書かれているときは
「解の数は２つないしは１つ」と教わったと思います
(ただし「異なる二つの実数解を持つ」のときは「解は２つ」ですので注意を！)
と、言うことにより$\alphaと\beta$の関係は
$\alpha \neq \beta $もしくは$ \alpha＝\beta$
と考えられます。
$\alpha \neq \beta$のときは問題ありませんが、$\alpha＝\beta$のときはどうでしょう？
$(x-\alpha)(x-\beta)=0は\alpha＝\betaとなることにより、\betaを\alphaに書き換えられるので$
\[(x-\alpha)(x-\alpha)=0 \]
\[ (x-\alpha)^2=0 \]
と書き直せられるはずです
そうしたら、不思議と$\alphaと\betaが$「重なり」あって「解」$\alpha$になりましたよね！
「重解」はほかに三次以上の方程式でも問われます
そのときも、今回の説明と一緒で「二つ以上の解が重なり合った解」が「重解」となります
(問題の答え)
2次方程式$x^2-2ax+n^2+2023=0$の判別式を$D$とする。
\[D=(-2a)^2-4(n^2+2023)=4(a^2-n^2-2023)\]
より
重解をもつとき$D=0$
したがって
\[a^2-n^2-2023=0\]
\[(a+n)(a-n)=2023=7 \times 17^2 \]
ここで$a,n$は自然数で積が正だから$a+n>a-n>0$
よって
\[(a+n,a-n)=(2023,1),(289,7),(119,17)\]
ゆえに
\[(a,n)=(1012,1011),(148,141),(68,51) \]
$a$の最小値は$a=68$