積分に関する質問です

[ゲスト]

この問題の(1)で、
f(x)=f(x+p)を使って
I1=∫(0→p)e^-x(p/2-∣(x+p)-p/2∣)dxとして
絶対値を外したのですが間違っていました。
このやり方が違う理由を教えてください。

[ゲスト]

どういうやり方をしたのかよく分かりませんが、
(1)でf(x)=f(x+p)を使う場面はありません。
この式は、f(x)が周期pの周期関数であることを意味しています。つまり、0≦x≦pの範囲外では、0≦x≦pと同じ形のグラフが何度も繰り返されるという意味です。
問(1)は0≦x≦pでの積分の話をしており、周期関数の話は関係ないので、この式を使う必要性はありません。

0≦x≦pでのf(x)はp/2-|x-p/2|だと問題文に明記されていますから、単純にこれを使えばよいです。
絶対値を外すと、
(0≦)x<p/2のとき f(x)=x
p/2≦x(≦p)のとき f(x)=p-x
となりますので、あとはこれらをI₁の式に代入し、頑張って積分計算するだけになります。

[ゲスト]

回答ありがとうございます。自分は、
f(x+p)=p/2-|x+p-p/2|=p/2-|x+p/2|で
xとpが0以上なので絶対値を外し
f(x+p)=-xとなり
I1=∫(0→p)e^-x(-x)dxとして
積分計算をしたのですが
この考え方に間違いがあれば
教えて頂きたいです。

[ゲスト]

どういう方針で解いたのか今分かりました。
I₁に出てくるf(x)をf(x+p)に変えて解いたということですね。

この解法の問題点は、
> f(x+p)=p/2-|x+p-p/2|
という式が、0≦(x+p)≦p (⇔-p≦x≦0)の場合にしか成り立たないという点です。
問題文で与えられているf(x)の表式はあくまで0≦x≦pの範囲でしか成り立たないものなので、xがそれ以外の範囲の場合、単純に代入するだけというわけにはいきません。

[ゲスト]

またまたありがとうございます！
なるほど、f(x+p）=p/2〜が
成り立つ範囲が抜けていました！
今回の積分区間で言うとx=pの時
成り立たなくなってしまう
ということですね。
ではもし積分区間が-p≦x≦0であれば
最初の解法でも大丈夫でしょうか？
何度も質問して申し訳ございません。

[ゲスト]

仮に積分区間が-p≦x≦0であれば、その解法で解けます。問題ないと思いますよ。

[ゲスト]

何度も回答して頂き
ありがとうございました！
完璧に解決できたのでまた機会があればよろしくお願いします。