極方程式のグラフについて質問です。
(1)
aを正の定数とした時、
極方程式 r=a(1+sinθ) のグラフを描け。
(2)
曲線 r=a(1+sinθ) で囲まれている有界な領域の面積を求めよ。
という問題があるのですが、普通に解こうとすると物凄く時間がかかってしまうためこの解き方が正解なのかわかりません。模範解答が存在しないためこの場を借りて質問させていただきます。
1.元の式にx=rcosθ、y=rsinθをそれぞれ代入
2.dx/dθ、dy/dθをそれぞれ求める
3.dx/dθ=0、dy/dθ=0を満たすθを求める
4.増減表を書く
5.増減表を元にグラフを作成する
このように解きました。もっと早く、楽な計算で解ける方法があれば教えていただきたいです。よろしくお願いします。
極方程式のグラフについて質問です。
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Re: 極方程式のグラフについて質問です。
(1) r=a(1+sinθ)
θ=φ+π/2 と置くと r=a(1+cosφ)
カージオイドだから、すぐ書ける
これを90°コテンと倒せば（回転すれば）求めるグラフ
【別解】まず a=1 で考える
θ=0 のとき(x,y)=(1,0)からスタート
θが増えるにつれてｒは大きくなり
θ=π/2 で rmax=2。(0,2)
さらにθが増えるにつれｒは減少
θ=π で r=1。(－1,0)
*左右の対称性を使ってもいい
さらにθが増えるにつれてｒは減少し
θ=3π/2 で rmin=0
こんな感じ
以上を滑らかに描く
(2) S=1/2∫[0,2π]r²dθ
=a²/2∫[0,2π](1＋sinθ)²dθ
=3πa²/2
（補足）r(θ)＝a(1+sinθ)
x=rcosθ＝a(1+sinθ)cosθ
y=rsinθ＝a(1+sinθ)sinθ
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)
=c(1+2s)/(c²－s²－s)
ここから、いろんな情報が得られる
θ=0 のとき (接線の傾き)=dy/dx=1
θ=π のとき dy/dx=－1
θ=π/2 のとき dy/dx=0
(分母)=cos²θ－sin²θ－sinθ＝0 を0≦θ<2π の範囲で解くと
θ=3π/2, π/6, 5π/6
グラフは 直線 x=0,x=±(3√3/4)a に接している
(分子)=c(1+2s)=0 から極値も出てくる
θ=φ+π/2 と置くと r=a(1+cosφ)
カージオイドだから、すぐ書ける
これを90°コテンと倒せば（回転すれば）求めるグラフ
【別解】まず a=1 で考える
θ=0 のとき(x,y)=(1,0)からスタート
θが増えるにつれてｒは大きくなり
θ=π/2 で rmax=2。(0,2)
さらにθが増えるにつれｒは減少
θ=π で r=1。(－1,0)
*左右の対称性を使ってもいい
さらにθが増えるにつれてｒは減少し
θ=3π/2 で rmin=0
こんな感じ
以上を滑らかに描く
(2) S=1/2∫[0,2π]r²dθ
=a²/2∫[0,2π](1＋sinθ)²dθ
=3πa²/2
（補足）r(θ)＝a(1+sinθ)
x=rcosθ＝a(1+sinθ)cosθ
y=rsinθ＝a(1+sinθ)sinθ
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)
=c(1+2s)/(c²－s²－s)
ここから、いろんな情報が得られる
θ=0 のとき (接線の傾き)=dy/dx=1
θ=π のとき dy/dx=－1
θ=π/2 のとき dy/dx=0
(分母)=cos²θ－sin²θ－sinθ＝0 を0≦θ<2π の範囲で解くと
θ=3π/2, π/6, 5π/6
グラフは 直線 x=0,x=±(3√3/4)a に接している
(分子)=c(1+2s)=0 から極値も出てくる