三角関数の式変形についてわからない部分があります

[ゲスト]

連続の質問失礼します。至急お願いしたいのですが、
！cos(n+2)θ+cosnθ=2cos(n+1)θcosθ
どうやって左辺から右辺のように変形できるんですか？
わかる方ましたら答えの導き方を教えてほしいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

この式を変形するために使うのは、三重角の公式や加法定理です。具体的には、加法定理を使って「cos(A + B)」の形に展開します。

与えられた式は次のようになっています。
cos(n+2)θ + cos nθ

ここで、「cos(n+2)θ」を加法定理を使って展開します。加法定理によれば、
cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B

なので、cos(n+2)θを次のように展開できます。
cos(n+2)θ = cos(nθ + 2θ) = cos nθ cos 2θ - sin nθ sin 2θ

これを元の式に代入します。
cos nθ cos 2θ - sin nθ sin 2θ + cos nθ

次に、cos 2θやsin 2θを二重角の公式を使って表現します。二重角の公式は次の通りです。
cos 2θ = 2cos²θ - 1、 sin 2θ = 2sinθ cosθ

これを代入すると、式は次のようになります。
cos nθ (2cos²θ - 1) - sin nθ (2sinθ cosθ) + cos nθ

次に、式を整理すると、次のようになります。
cos nθ (2cos²θ - 1 + 1) - 2sin nθ sinθ cosθ
= cos nθ ・ 2cos²θ - 2sin nθ sinθ cosθ

これを因数分解すると、次のようになります。
= 2cos nθ cosθ cos(n+1)θ

この形は、右辺の「2cos(n+1)θ cosθ」と一致します。
よって、左辺の式が右辺の式に変形されることが確認できます。