積分の計算について

[kyousuke]

数2積分の内容から質問です。
∫[-a→a](x³＋x²＋x＋1)dxが2∫[0→a](x²＋1)dx
と変形できるそうなのですが、それは何故でしょうか？ 2∫[0→a]は何となくわかるのですがx³とxが消える理由が分かりません。塾の授業で、偶関数と奇関数というのを聞いたことがあるのですが、それもいまいちよく分かっておりません。これらの意味を踏まえて、ご回答よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

・偶関数
グラフが $y$ 軸に関して対称
・奇関数
グラフが原点に関して対称
関数 $y=x^3$ や関数 $y=x$ は奇関数なので対称な区間で積分すると
同じ面積で消し合って結局 $0$ になります。
（面積の絶対値は同じだけど符号は逆。図を参照）

[kyousuke]

なるほど、対称であるので偶関数は2倍になるが、奇関数は原点対称ですので面積が相殺されるということですね。納得しました。問題で使えるようにしたいです。教えていただき、ありがとうございました。また機会があればよろしくお願いします。