対数の最大値最小値について

[ゲスト]

数学2の対数関数の最大値最小値の問題がわかりません（；＿；）

y=log1/3x+log1/3(6-x)の最小値を求めよ

解説をお願いします。

[ゲスト]

1/3 はlogの底として考えさせていただきます

底は [ ] ではさんで表記する事にします。

まず、この関数の定義域を調べます。
真数条件より
x>0 かつ 6-x>0
すなわち 0<x<6 が定義域です。

y=log[1/3]x+log[1/3](6-x)
=log[1/3]{x(6-x)}

底 1/3 は 1 より小さいので
真数の
x(6-x) が最小となる時、yは最大となり、
x(6-x) が最大となる時、yは最小となります。

f(x)=x(6-x)
とおいて、真数の最大値、最小値を調べます。
これは二次関数です。
この式を標準形に直して、軸と頂点を求めます。

f(x)=x(6-x)
=-x^2+6x
=-(x^2-6x+9-9)
=-{(x-3)^2-9}
=-(x-3)^2+9

∴軸 x=3, 頂点(3, 9)
の上に凸の放物線です。

0<x<6 の範囲に注意してグラフを描くと
添付しているような図になります。

グラフより x=3 の時、最大値9 をとります。
最小値はありません。
x=0 と x=6 で最小値をとっているようにも見えますが、
定義域は 0<x<6 であり、0≦x≦6 ではありません。
つまり、x=0 と x=6 は含まないので、最小値をとりません。

よって、yは x=3 の時、最小値
y=log[1/3]3+log[1/3](6-3)
=-1-1
=-2
をとります。

答え
最大値 なし
最小値 -2 (x=3 の時)

以上になります。グラフも張っておきますのでご確認お願いします。