微分の解の個数について質問です

[ゲスト]

微分のところで質問です。
次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
①x^3+2x^2+2=0
②x^3+4x^2+6x-1=0
実数解の個数を調べる問題は、三次関数の式を微分して、傾き＝０のところを考えて、グラフをイメージして解くのですが、傾きが虚数になるときはどうなるのでしょうか？
グラフがイメージできずによくわかりません。単調増加や減少が絡んでくるのでしょうか？
①のように普通に３次式を因数分解すると答えでるものもあるのですが、②はどうなるのでしょうか？
解説お願いします。

[ゲスト]

①はその方法で大丈夫

②の傾きが虚数になるとはf(x)=x^3+4x^2+6x-1を微分した式3x^2+8x+6を=0と結んだ式の解が虚数解になるという事でしょうか？

確かに虚数になります。ただし注意してもらいたいのは傾きが虚数ではなく傾きが0になるxの点は虚数になるという意味になります

虚数はこの実数のグラフ上には存在しないので傾きが0になるxの点は存在しません

ではどうするか f'(x)を平方完成してf''(x)=0で変曲点を求めます

f'(x)=3x^2+8x+6=3(x+4/3)^2+2/3>0

f''(x)=6x+8=0 x=-4/3

見ていただくと傾きは0にならないで常に正でグラフは強意の単調増加のみ行う形になります

するとグラフはx軸と交わる機会は１回のみです

したがって実数解は１つしかありません

変曲点は-3/4でそれより大きい所では下に凸。小さい所では上に凸のグラフになります

あとはx=0,-3/4,1など適当な数を入れて形を把握して下さい