角の二等分線の性質

[ゲスト]

角の二等分線の作図についての疑問です。中１の数学の作図において
角の二等分線の作図がなぜ教科書に書いてあるようなやり方でできるのかが全く理解できなくて困っています…
弧を書く際に全て同じ半径でとればひし形の性質により角Ｏからかいた弧(図の点線部分)の交点を直線で結んであげれば対角線がそれぞれ垂直に二等分されるということから青線が垂直二等分線になるということは理解しているつもりですが、図のようにひし形にならない場合は点線部分がそれぞれ二等分されている明確な理由もわからないから青い直線も垂直二等分線かもわからず困っています。作図の各操作の意味も含めて教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

2等分したい角の内側に，
合同な三角形を2つ作図しているからですね。

角AOBの二等分線を作図する手順に沿って話しましょう。
(1)頂点Oを中心に弧をかきます。
弧と直線OAの交点をA'，弧と直線OBの交点をB'すると，
当然OA'＝OB'です。

(2)A'を中心に弧をかき，同じ半径でB'を中心に弧をかきます。
この2つの弧の交点がPとしますと，
半径を変えずにかいているので，A'P＝B'Pです。

(3)直線OPをかきます。

ここで補助線A'P，B'Pを引いてみましょう。
△OA'P，△OB'Pができます。この2つの三角形について，
(1)より，OA'＝OB'
(2)より，A'P＝B'P
OPは共通
3辺がそれぞれ等しいから，△OA'P≡△OB'P
ゆえに，角AOP＝角BOPなので，
『直線OPは角AOBの二等分線』になるわけです。

この手順によって角の二等分線が得られるという感じになります。

[ゲスト]

そういうことでしたか、自分が何か思い違いをしておりました。理解できました。ご回答ありがとうございました。また機会があればよろしくお願いします。