数Ⅲの中間値の定理について質問です。

[ゲスト]

数Ⅲの中間値の定理について質問です。

「関数f(x)が閉区間［a,b］で連続で、f(a)≠f(b)ならばf(a)とf(b)の間の任意の値kに対して
f(c)=k, a＜c＜bを満たす実数が少なくとも1つある」
と教科書に書いてあったのですが、開区間(a,b)ではダメなんですか？
また、閉区間［a,b］の範囲はa≦x≦bなのに、どうしてa＜c＜bとなるのですか？

[ゲスト]

> 開区間(a,b)ではダメなんですか？

開区間ではダメです。
反例があります。
例えば、x = a と x = b で連続でないなら、f(a) はめっちゃ遠いところの値でもいいですよね。
グラフでいうと、a < x < b では繋がっているけど、その範囲と、f(a), f(b) は繋がっていない状態です。
このとき、中間値の定理は成り立たないように f(a), f(b) 設定しちゃえば、反例になりますよね。

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> 閉区間［a,b］の範囲はa≦x≦bなのに、どうしてa＜c＜bとなるのですか

仮定は閉区間ですが、結論は開区間ですね。
べつに、仮定が閉区間だからって、結論も閉区間じゃないとだめなんてことないですよね？
たとえば、1 ≦ x ≦ 2 ならば 0 < x < 3 です。
…言っている主張はこれと一緒です。

「f(c) = k, a < c < b を満たす実数が存在する」
これが結論です。
それが成り立つ、という "定理" です。
なぜ結論の部分を開区間としたのかと聞かれても、それが成り立つから、そうなると主張しているだけです。


ちなみに、結論のところは閉区間にしても成り立ちますが、元の主張より、弱い定理になってしまいます。

「関数f(x)が閉区間［a,b］で連続で、f(a)≠f(b)ならばf(a)とf(b)の間の任意の値kに対して
f(c)=k, a＜c＜bを満たす実数が少なくとも1つある」

から

「関数f(x)が閉区間［a,b］で連続で、f(a)≠f(b)ならばf(a)とf(b)の間の任意の値kに対して
f(c)=k, a≦c≦bを満たす実数が少なくとも1つある」

が証明できるので。

つまり、結論部が開区間になっている方が主張としては強いです。（真に強いかは知りませんが。同値かもしれません）

反例は、添付の画像みたいな関数ですね。

a = -1, b = 1 だとして、
-1 < x < 1 では f(x) = x だけど、
f(-1) = 2, f(1) = 3
みたいに不連続にすると、
「開区間で連続」「f(-1) ≠ f(1)」
は満たすけど、
「f(-1)（=2）とf(1)（=3）の間の任意の値kに対して
f(c)=k, -1＜c＜1を満たす実数が少なくとも1つある」
は満たさなくなりますね。