次の問題で「解き方は2種類ある」と言われました。
ただ、1つも解法が分からないままで答えも分からないので、解説をお願いしたいです。
2つの円x^2+y^2=49、x^2+y^2-18x+6y+65=0の交点A、Bと、円x^2+y^2=49上の点Pがつくる三角形を△ABPとする。△ABPの面積が最大となる時、点Pの座標を求めよ。
平方完成はできます！
よろしくお願いします！
図形と方程式の質問です
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ゲスト
Re: 図形と方程式の質問です
$C_1 \colon x^2+y^2=49 \cdots ①$
$C_2 \colon x^2+y^2-18x+6y+65=0 \cdots ②$
とする。$C_1とC_2$の２つの交点を通る直線を$l$とする。
$①ー②より18x-6y-65=49$
よって、$l$の方程式は$3x-y=19 \cdots ③$
線分ABの垂直二等分線と円$C_1$の交点のうち、$l$から遠い方がPである。
（このとき、線分ABを底辺と見たときの高さが最大となる）
③を①に代入すると $x^2+(3x-19)^2=49$
整理すると
$10x^2-114x+312=0 \cdots ④$
Aの$x$座標を$\alpha$,Bの$x$座標を$\beta$とすると
$\alpha$,$\beta$は④の２解になる。解と係数の関係より
\[ \alpha+\beta =-\frac{-114}{10}=\frac{57}{5} \]
よって線分ABの中点の$x$座標は
\[ \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{57}{10} \]
したがって、③により、
線分ABの中点の座標は
\[ (\frac{57}{10}, -\frac{19}{10}) \]
この点を通り、線分ABに垂直な直線の方程式は
\[ y=-\frac{1}{3}(x-\frac{57}{10})-\frac{19}{10}\]
すなわち
\[y=-\frac{1}{3}x \cdots ⑤\]
①に⑤を代入して
\[ x^2+(-\frac{1}{3}x)^2=49 \]
整理すると
\[x^2=\frac{7^2 \cdot 3^2}{10} \]
$x<0$より
\[x=-\frac{21}{\sqrt{10}}, y=\frac{7}{\sqrt{10}} \]
よって、Pの座標は
\[ (-\frac{21}{\sqrt{10}}, \frac{7}{\sqrt{10}}) \]
$C_2 \colon x^2+y^2-18x+6y+65=0 \cdots ②$
とする。$C_1とC_2$の２つの交点を通る直線を$l$とする。
$①ー②より18x-6y-65=49$
よって、$l$の方程式は$3x-y=19 \cdots ③$
線分ABの垂直二等分線と円$C_1$の交点のうち、$l$から遠い方がPである。
（このとき、線分ABを底辺と見たときの高さが最大となる）
③を①に代入すると $x^2+(3x-19)^2=49$
整理すると
$10x^2-114x+312=0 \cdots ④$
Aの$x$座標を$\alpha$,Bの$x$座標を$\beta$とすると
$\alpha$,$\beta$は④の２解になる。解と係数の関係より
\[ \alpha+\beta =-\frac{-114}{10}=\frac{57}{5} \]
よって線分ABの中点の$x$座標は
\[ \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{57}{10} \]
したがって、③により、
線分ABの中点の座標は
\[ (\frac{57}{10}, -\frac{19}{10}) \]
この点を通り、線分ABに垂直な直線の方程式は
\[ y=-\frac{1}{3}(x-\frac{57}{10})-\frac{19}{10}\]
すなわち
\[y=-\frac{1}{3}x \cdots ⑤\]
①に⑤を代入して
\[ x^2+(-\frac{1}{3}x)^2=49 \]
整理すると
\[x^2=\frac{7^2 \cdot 3^2}{10} \]
$x<0$より
\[x=-\frac{21}{\sqrt{10}}, y=\frac{7}{\sqrt{10}} \]
よって、Pの座標は
\[ (-\frac{21}{\sqrt{10}}, \frac{7}{\sqrt{10}}) \]
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ゲスト
Re: 図形と方程式の質問です
(別解)
$\theta$を媒介変数として$P(7\cos{\theta},7\sin{\theta})$とおける。
直線ABの方程式は $3x-y-19=0$より
Pと$l$の距離を$d$とすると
\[ d=\frac{\left|3 \cdot 7\cos{\theta}-7\sin{\theta}-19 \right|}{3^2+(-1)^2} \]
\[=\frac{\left| 7(3\cos{\theta}-\sin{\theta})-19\right|}{\sqrt{10}} \]
\[=\frac{\left|7\sqrt{10}\sin{(\theta+\alpha)}-19 \right|}{\sqrt{10}} \]
ただし
\[ \cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{10}}, \sin{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]
$d$が最大になるとき$△ABP$の面積は最大になる。
\[ \theta+\alpha=\frac{3}{2}\pi+2n \pi \]
$(n \colon 整数)$のとき$d$は最大のとなる
\[\theta=\frac{3}{2}\pi+2n \pi-\alpha \] より
\[\cos{\theta}=\cos{(\frac{3}{2} \pi+2n \pi-\alpha)}=-\sin{\alpha}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\]
\[\sin{\theta}=\sin{(\frac{3}{2} \pi+2n \pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{10}}\]
よって、Pの座標は
\[ (-\frac{21}{\sqrt{10}}, \frac{7}{\sqrt{10}}) \]
$\theta$を媒介変数として$P(7\cos{\theta},7\sin{\theta})$とおける。
直線ABの方程式は $3x-y-19=0$より
Pと$l$の距離を$d$とすると
\[ d=\frac{\left|3 \cdot 7\cos{\theta}-7\sin{\theta}-19 \right|}{3^2+(-1)^2} \]
\[=\frac{\left| 7(3\cos{\theta}-\sin{\theta})-19\right|}{\sqrt{10}} \]
\[=\frac{\left|7\sqrt{10}\sin{(\theta+\alpha)}-19 \right|}{\sqrt{10}} \]
ただし
\[ \cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{10}}, \sin{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]
$d$が最大になるとき$△ABP$の面積は最大になる。
\[ \theta+\alpha=\frac{3}{2}\pi+2n \pi \]
$(n \colon 整数)$のとき$d$は最大のとなる
\[\theta=\frac{3}{2}\pi+2n \pi-\alpha \] より
\[\cos{\theta}=\cos{(\frac{3}{2} \pi+2n \pi-\alpha)}=-\sin{\alpha}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\]
\[\sin{\theta}=\sin{(\frac{3}{2} \pi+2n \pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{10}}\]
よって、Pの座標は
\[ (-\frac{21}{\sqrt{10}}, \frac{7}{\sqrt{10}}) \]