三角関数の極限について

[ryouji]

この問題が分かりません。だけか教えてください。
次の極限が有限の値となるように定数a,bを定め,その時の極限値を求めなさ。答えはa=４　b=－１　極限値は-15/8です。
lim[x→0]{ √{９-８x+７cos(２x)} -(a+bx) }/x²

[harusame]

\[ \lim_{x \to 0} (\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(a+bx) )=0　 \]
より $4-a=0$
したがって $a=4$
\[ \frac{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx)}{x^2}=\frac{(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx))(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}} \]

\[ =\frac{9-8x+2\cos{2x}-(4+bx)^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)-8x(b+1)-b^2 x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}} \]
ここで与えられた式が有限の値に収束するとき $b=-1$

[harusame]

このとき

\[ \frac{7(\cos{2x}-1)- x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}}- \frac{ x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)(\cos{2x}+1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x)}} \]
\[ =\frac{7(\cos^2{2x}-1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x)}} \]
\[ =\frac{-7\sin^2{2x}}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x)}} \]
\[ =\frac{-28\sin^2{2x}}{(2x)^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x)}} \]
\
\[ =(\frac{\sin{2x}}{2x})^2 \cdot \frac{-28}{(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}-\frac{ 1}{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x)} \]

したがって
\[ \lim{x \to 0} \frac{7(\cos{2x}-1)- x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}}
=1^2 \cdot (-28) \cdot \frac{1}{8}
\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{8}=-\frac{28}{16}-\frac{1}{8}=-\frac{15}{8} \]

[ryouji]

納得することができました。丁寧な解説ありがとうございました。