高校数学 複素数平面の問題の解説をお願いします。
iは虚数単位であり、z=√3+i,w=√3/2-3i/2
nを正の整数として、複素数平面上の2点z^n,w^nの距離をdnとする。
dn≧2024となる最小のnを求めるという問題です。答えはn=１１になるそうです。どなたか解答をお願いします。
複素数について
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sanmama
Re: 複素数について
zⁿ=２ⁿ(cos(nπ/６)+isin(nπ/６))，wⁿ=(√３)ⁿ(cos(-nπ/３)+isin(-nπ/３))
となりますから，
点Pₙ(zⁿ)，Qₙ(wⁿ) として，
∠QₙOPₙ=arg(zⁿ/wⁿ)=nπ/２となりますので，
n=４k のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ-|w|ⁿ=2ⁿ-(√3)ⁿ
n=４k+１ のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ+|w|ⁿ=2ⁿ+(√3)ⁿ
n=４k±１ のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=√(|z|²ⁿ+|w|²ⁿ)=4ⁿ+3ⁿ
となります。考えるのは長さが一番大きくなるn=４k±１ のとである。ここで、n=１０ のときを考えてみると、
４^10+３^10=1107625, 2024^2=4096576. ゆえ不成立。
したがって、ｎの最小値は １１
になると思います。ご確認お願い致します。
となりますから，
点Pₙ(zⁿ)，Qₙ(wⁿ) として，
∠QₙOPₙ=arg(zⁿ/wⁿ)=nπ/２となりますので，
n=４k のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ-|w|ⁿ=2ⁿ-(√3)ⁿ
n=４k+１ のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ+|w|ⁿ=2ⁿ+(√3)ⁿ
n=４k±１ のときは，dₙ=|zⁿ-wⁿ|=√(|z|²ⁿ+|w|²ⁿ)=4ⁿ+3ⁿ
となります。考えるのは長さが一番大きくなるn=４k±１ のとである。ここで、n=１０ のときを考えてみると、
４^10+３^10=1107625, 2024^2=4096576. ゆえ不成立。
したがって、ｎの最小値は １１
になると思います。ご確認お願い致します。
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yasunori
Re: 複素数について
かなり難しいですね。でも場合分けして一番長さの大きいn=4k±1のときで考えるのですね。数値を入れるのは大変そうですが理屈はわかりました。ご回答ありがとうございました。