不等式の問題についてわからない部分があります

[ゲスト]

a>bのとき、不等式5a+3b>3a+5bが成り立つことを示せと。という問題について質問です
解答には
a-b>0を示せばよい
(5a+3b)-(3a+5b)=2a-2b=2(a-b)
a>bより、a-b>0であるから
(5a+3b>3a+5b)=2(a-b)>0
ゆえに5a+3b>3a+5b
と書いてあるのですが絶対にa-b>0を示さなければならないのでしょうか？
自分は
5a+3b>3a+5b
2a>2b
a>b
と解いたのですがこれは間違いでしょうか

[ゲスト]

自分は
5a+3b>3a+5b
2a>2b
a>b
と解いた

この「証明」が述べているのは、
5a+3b>3a+5b が成り立つならば
2a>2b が成り立つ。
2a>2b が成り立つので
a>b が成り立つ。
ということです。
要約すると
「5a+3b>3a+5b が成り立つならば a>b が成り立つ」
となります。

これでは証明をしたことになりません。
証明しなさいと言われているのは
「a>b が成り立つならば 5a+3b>3a+5b が成り立つ」
ことです。
質問者さまが行った「証明」は、問題で証明せよと言われていることを逆向きにしたものです。仮定と結論を入れ替えたものが言える、ということです。そのため、問題に答えたことにはなりません。

a-b>0を示せばよい、というのも間違っています。
(5a+3b)-(3a+5b)>0を示せばよい、が正しいです。

正しい証明は

a>b とすると
・・・・・
したがって 5a+3b>3a+5b が成り立つ。

の形になります。