図形の長さを求め方について質問があります

[ゲスト]

三角形ABCがある。
∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°であり、三角形ABCは半径2の円に内接している。
このとき、BCの長さを正弦定理を直接的に用いないで求めてください。
よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

点Bから辺ACに下ろした垂線の足をHとすると、∠C=45°だから△BHCは
BH=CHの直角二等辺三角形となり、BH=CH=xとおくと、BC=(√2)x
また∠B=75°で∠CBH=45°だから∠ABH=30°
よってAH=x/√3, AB=2x/√3

ところで△ABCの外接円の中心をOとすると、∠AOB=2∠ACB=90°
よって△AOBはOA=OB=2の直角二等辺三角形だから AB=2√2
つまり 2x/√3=2√2 ⇔ x=√6

よって BC=2√3

[ゲスト]

正弦定理を用いない場合は補助線を引いて、三平方の定理を使って解きます。

まず問題文を図で表すと添付①のようになります。

つぎにBから線AHに垂直な補助線を引くと、添付②のようになります。
（Bからの垂線と線AHとの交点をHとおきました）

補助線を引いたことで△ABHは添付③のように30°、60°の角をもつ直角三角形なので、辺の比は1:2:√3になります。

一方、△BCHは添付③のように45°の角をもつ直角二等辺三角形なので、辺の比は1:1:√2になります。


ここで、BCを求めたいのでBC=xと置いてもいいのですが、
計算が少しややこしくなるのでBH=xとおいてみます。

すると添付④のように各線は以下のようになります。

\begin{equation}
AB=\frac{2}{\sqrt{3}}x
\end{equation}
\begin{equation}
BC=\sqrt{2}x
\end{equation}

ここで外接円の半径2というヒントを利用しましょう。
添付⑤のように中心OとA,Bにそれぞれ補助線を引いてみます。

すると、角Cは45°なので、中学校で習った中心角と円周角の関係から、
角AOBは90°になり、△AOBは直角二等辺三角形になります。

AO、BOがともに2であることから、1:1:√2の比の関係を使うとABは以下の通りです。

\begin{equation}
AB=2\sqrt{2}
\end{equation}

よってxは以下の値になります。

\begin{equation}
AB=\frac{2}{\sqrt{3}}x=2\sqrt{2}
\end{equation}
\begin{equation}
x=\sqrt{6}
\end{equation}

したがってBCは以下の値となり、正弦定理を使わずに求めることができます。
\begin{equation}
BC=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}
\end{equation}