確率（期待値・分散）関する問題
●さいころを１回投げたときの目をXとするとき、
変数Y＝３X－１の期待値と分散を求めよ。
という問題なのですが、
期待値を求めるとき、
E(X)=１＋２＋３＋４＋５＋６／６＝７／２ なので
E(Y)＝E(3X-1)
＝３E(X)－１
＝１９／２
でいいですか？
分散はどのように求めればいいでしょうか？
確率（期待値・分散）関する問題
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ゲスト
Re: 確率（期待値・分散）関する問題
Y^2=(3X-1)^2なので
(3*1-1)^2*(1/6)+(3*2-1)^2*(1/6)+...+(3*6-1)-2*(1/6)
を計算するだけです。
また、期待値の線型性を使うなら
Y^2=(3X+1)^2=9X^2+6X+1
より
E(Y^2)=9*E(X^2)+6*E(X)+1
として、E(X^2)を求めて代入するという手もあります。
(3*1-1)^2*(1/6)+(3*2-1)^2*(1/6)+...+(3*6-1)-2*(1/6)
を計算するだけです。
また、期待値の線型性を使うなら
Y^2=(3X+1)^2=9X^2+6X+1
より
E(Y^2)=9*E(X^2)+6*E(X)+1
として、E(X^2)を求めて代入するという手もあります。
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ゲスト
Re: 確率（期待値・分散）関する問題
期待値に関しては問題ありません
$X^2$の期待値$E[X^2]$は
\[ E[X^2]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6} \]
\[ V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{91}{6}-(\frac{7}{2})^2=\frac{35}{12} \]
\[V[Y]=V[3X-1]=3^2 V[X]= 9 \times \frac{35}{12}=\frac{105}{4}\]
$X^2$の期待値$E[X^2]$は
\[ E[X^2]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6} \]
\[ V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{91}{6}-(\frac{7}{2})^2=\frac{35}{12} \]
\[V[Y]=V[3X-1]=3^2 V[X]= 9 \times \frac{35}{12}=\frac{105}{4}\]