関数の根本的な原理について質問です

[ゲスト]

f(x)くgxならば逆数を取ると不等号が逆転します。今回もおんなじことですか？
また関数がどのような形でもこの式変形は同値なのでしょうか？
何かよくわからなくなってきてしまいました。ご回答のほど、よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

おっしゃるとおりです。機械的に結果だけを述べると、

(1)AとBが同符号（つまり、AもBも正 or AもBも負）のとき
A>B ならば 1/A<1/B


(2)AとBが異符号（つまり、Aが正でBが負 or Aが負でBが正）のとき
A>B ならば 1/A>1/B

理由は簡単です。見かけ上は逆数をとってるように見えますがこの計算のプロセスを考えましょう。

基本は
不等式の両辺を正の数で割るときには、向きは変わらず
不等式の両辺を負の数で割るときには、向きが変わる
です。

（1)の場合、AとBが同符号ですから、その積ABは正の数です。よって、
A>Bの両辺をABで割って、A/(AB) > B/(AB)
よって、1/B > 1/A
つまり、1/A < 1/B
を得ます。

（2）の場合、AとBが異符号ですから、その積ABは負の数です。よって、
A>Bの両辺をABで割って、A/(AB) < B/(AB)
よって、1/B < 1/A
つまり、1/A > 1/B
を得ます。