背理法の証明問題について

[ゲスト]

「√2+√6は無理数であることを示せ（√2が無理数であることを用いてよい）」という問題で、√2（1+√3）=m/n（m,nは自然数）のように式変形するやり方は間違ってますか？


一応最初から解答方針を書いていただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

√2 が無理数であることを使ってよいのだから

r を有理数として
√2 + √6 = r
とおいて
√6 = r - √2
とし、両辺を2乗すれば
(√6)² = (r - √2)²
は
6 = r² - 2r√2 + 2
となる。
これを整理すると
(r² - 4)/2r = √2
となり、左辺は有理数の四則演算であるから有理数であり、右辺の√2が無理数であることに矛盾する。

となる。

m/n
を使うまでもないが、
あなたの証明に必要であるのなら使ってもかまわない。

証明は一通りとは限らないので。

「√2（1+√3）=m/n（m,nは自然数）のように式変形するやり方は間違ってますか？」
⇒ あなたの証明を提示しないと あってるかどうかの評価も添削もできません。
式変形だけならどのようにもできますが、このあとどのように証明につなげようとしてますか？