破産する確率の漸化式について

[ゲスト]

破産する確率の漸化式について．
資金が+1される確率をp，-1される確率をq=1-pとする．
0で破産，目標額Nに達したらゴールとする．
資金がkであるときに破産する確率をr[k]とする．
この問題の漸化式を立てるとき，私はk+1の状態からqでkの状態に，k-1の状態からpでkの状態になることから，
r[k] = q*r[k+1] + p*r[k-1]
となると考えたのですが，正しい答えはr[k] = p*r[k+1] + q*r[k-1]となるようです．

なぜでしょうか？
状態推移の基本的な考え方に則っているつもりなのですが，何が違うのでしょうか？

[ゲスト]

話を分かりやすくするために、現時点で資金量が２とします。
この状態から破産に至る道筋は２つです。資金量が１に減ったのちに破産する、と資金量が３に増えたのちに破産するです。

資金量が１になったのちに破産する確率はｒ[１]、資金量が３になったのちに破産する確率はｒ[３]ですから、ｒ[２]＝ｑ×ｒ[１]＋ｐ×ｒ[３]となります。

もうお分かりですね。資金量が減ったのちの確率はｒ[ｋ－１]に計算をまかせ、資金量が増えたのちの確率はｒ[ｋ＋１]にまかせれば良いのです。