積分の体積計算について質問です。
面積では上の関数から下の関数を引いたものを定積分すれば面積が出るのに、
体積ではそれが出来ない理由を教えてください。宜しくお願い致します。
言いたいことは以下の内容になります。
上の関数…f(x) 下の関数…g(x)
間違い…π∫(a→b) {f(x)-g(x)}^2 dx
正解…π∫(a→b){f(x)}^2 dx
- π∫(a→b){g(x)}^2 dx
=π∫(a→b){(f(x))^2 -(g(x))^2} dx
積分の概念
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Re: 積分の概念
面積の場合、$a≦x≦b$で$f(x)>g(x)>0$ ならば、
\[ (f(x)のグラフから下の面積)=\int_{a}^{b}f(x)dx \]
\[(g(x)のグラフから下の面積)=\int_{a}^{b}g(x)dx \]
\[ (f(x)とg(x)のグラフで挟まれた部分の面積) =(f(x)のグラフから下の面積)ー(g(x)のグラフから下の面積) =\int_{a}^{b}f(x)dxー\int_{a}^{b}g(x)dx =\int_{a}^{b}[f(x)ーg(x)]dx \]
となります。 体積の場合、$a≦x≦bでf(x)>g(x)>0 $ならば、
\[ (f(x)のグラフを１回転した体積)=\int_{a}^{b}π[f(x)]²dx \]
\[(g(x)のグラフを１回転した体積)=\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx \]
(これは円の面積公式$ S=πr²$ が元になっています。) なので
($f(x)とg(x)$のグラフで挟まれた部分を$1$回転した体積) =($f(x)$のグラフを$1$回転した体積)ー($g(x)$のグラフを$1$回転した体積)= \[ \int_{a}^{b} \pi [f(x)]²dxー\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx =\int_{a}^{b}π[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx \]
\[ \int_{a}^{b}\pi[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx\] は元をただせば
\[\int_{a}^{b}π[f(x)]²dxー\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx\]
であり、これは外側の回転体から内側の回転体をくり抜いてできる立体の体積を表していること。 この２つが重要です。\[\int_{a}^{b}[f(x)ーg(x)]²dx\]が体積を表すとしたら、$(y=f(x)ーg(x)のグラフを$1$回転した体積)$になりますが、これは立体としても体積としても、\[\int_{a}^{b}[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx\]の場合とは異なります。 $f(x)=2, g(x)=1, 0≦x≦1 $のときを考えても、 \[ \int_{0}^{1}[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx = \int_{0}^{1}π(2²ー1²)dx =\int_{0}^{1} \pi \cdot 2²dxー\int_{0}^{1}π\cdot 1²dx =(半径2、高さ1の円柱)ー(半径1、高さ1の円柱) \]はドーナツ形の体積ですが、
\[ \int_{0}^{1}π[f(x)ーg(x)]²dx =\int_{0}^{1}π(2ー1)²dx=(半径１、高さ１の円柱)\]
は円柱の体積になります。
\[ (f(x)のグラフから下の面積)=\int_{a}^{b}f(x)dx \]
\[(g(x)のグラフから下の面積)=\int_{a}^{b}g(x)dx \]
\[ (f(x)とg(x)のグラフで挟まれた部分の面積) =(f(x)のグラフから下の面積)ー(g(x)のグラフから下の面積) =\int_{a}^{b}f(x)dxー\int_{a}^{b}g(x)dx =\int_{a}^{b}[f(x)ーg(x)]dx \]
となります。 体積の場合、$a≦x≦bでf(x)>g(x)>0 $ならば、
\[ (f(x)のグラフを１回転した体積)=\int_{a}^{b}π[f(x)]²dx \]
\[(g(x)のグラフを１回転した体積)=\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx \]
(これは円の面積公式$ S=πr²$ が元になっています。) なので
($f(x)とg(x)$のグラフで挟まれた部分を$1$回転した体積) =($f(x)$のグラフを$1$回転した体積)ー($g(x)$のグラフを$1$回転した体積)= \[ \int_{a}^{b} \pi [f(x)]²dxー\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx =\int_{a}^{b}π[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx \]
\[ \int_{a}^{b}\pi[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx\] は元をただせば
\[\int_{a}^{b}π[f(x)]²dxー\int_{a}^{b}π[g(x)]²dx\]
であり、これは外側の回転体から内側の回転体をくり抜いてできる立体の体積を表していること。 この２つが重要です。\[\int_{a}^{b}[f(x)ーg(x)]²dx\]が体積を表すとしたら、$(y=f(x)ーg(x)のグラフを$1$回転した体積)$になりますが、これは立体としても体積としても、\[\int_{a}^{b}[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx\]の場合とは異なります。 $f(x)=2, g(x)=1, 0≦x≦1 $のときを考えても、 \[ \int_{0}^{1}[{f(x)}²ー{g(x)}²]dx = \int_{0}^{1}π(2²ー1²)dx =\int_{0}^{1} \pi \cdot 2²dxー\int_{0}^{1}π\cdot 1²dx =(半径2、高さ1の円柱)ー(半径1、高さ1の円柱) \]はドーナツ形の体積ですが、
\[ \int_{0}^{1}π[f(x)ーg(x)]²dx =\int_{0}^{1}π(2ー1)²dx=(半径１、高さ１の円柱)\]
は円柱の体積になります。