フィルターについての問題です。

[ゲスト]

フィルターについての問題です。

定義 Fを自然数全体Nの部分集合の集まりとします。
Fがフィルターであるとは、次の4つの条件を満たすこととします。

1.F≠φ(空集合)
2.A,B∈F⇒A∩B∈F
3.A∈FかつA⊂B⇒B∈F
4.φ∉F

問題:Nの部分集合Aが、A∉FかつN\A∉Fとすると、
FとAを含むフィルターが存在する。

これの答えを教えてください。

[ゲスト]

与えられた条件は次のとおりです:
- Fはフィルター(自然数全体Nの部分集合の集まり)
- Aは自然数全体Nの部分集合
- A∉F かつ N\A∉F (AとAの補集合はどちらもFに含まれない)

この条件の下で、FとAを含むフィルターが存在することを示す必要があります。

ここで、F∪{A}を考えます。
- F∪{A}は空集合ではない(条件1を満たす)
- B,C∈F∪{A}のとき、B∩C∈Fまたは{A}なので、B∩C∈F∪{A}(条件2を満たす)
- B∈F∪{A}かつB⊂Cのとき、C∈Fまたは{A}なので、C∈F∪{A}(条件3を満たす)
- φ∉F∪{A}(条件4を満たす)

したがって、F∪{A}はフィルターの条件を全て満たします。
よって、FとAを含むフィルターF∪{A}が存在することが示されました。